O que é o arco tangente (arc tg) e como calcular

O que é o arco tangente?

O arco tangente é a operação inversa da tangente: você dá um valor e ele te devolve o ângulo cuja tangente é aquele número. $\operatorname{arctg}1$ é $45^\circ$, ou $\tfrac{\pi}{4}$, porque a $\tg 45^\circ$ vale 1, é ler a conta de trás pra frente.

Ele entra em cena quando a tangente cai num valor que você não sabe de cor: e se no fundo for tangente de x igual a algum número estranho e eu não saiba qual que é o ângulo cuja tangente vale aquilo? Aí a pergunta deixa de ser quanto vale a tangente e vira qual é o ângulo que tem aquela tangente. É esse ângulo que o arco tangente nomeia, e ele sempre te devolve uma resposta única, entre −90° e 90°, o intervalo aberto de $-\tfrac{\pi}{2}$ a $\tfrac{\pi}{2}$.

Nesta página eu construo o conceito do zero: o que ele significa, por que existe, os exemplos resolvidos, o gráfico da função e a diferença entre arc tg e a equação $\tg(x) = k$.

Por que o arco tangente existe?

O arco tangente existe pra nomear um ângulo quando a tangente cai num valor que você não sabe de cor. A maioria dos valores de tangente não bate num ângulo notável, e aí o problema deixa de ser quanto é a tangente e vira qual ângulo tem essa tangente.

A saída não é decorar mais ângulo. Arco tangente vai ser a notação que a gente vai definir aqui: um jeito de dar nome a um arco que você não sabe de cabeça quem é.

Então, quando eu escrevo arco tangente de um valor, eu estou falando do ângulo cuja tangente vale aquilo, dentro de um intervalo combinado. E limitar esse intervalo é o que tira a ambiguidade, é o detalhe que a próxima seção resolve.

Por que fica entre −90° e 90°?

O arco tangente só devolve ângulos entre −90° e 90°, o intervalo aberto entre $-\tfrac{\pi}{2}$ e $\tfrac{\pi}{2}$, por convenção, e é isso que torna a resposta única.

O motivo aparece no ciclo. Existem infinitos ângulos com uma dada tangente, mas pensa numa volta só: numa volta só, de zero a dois pi, já tem ambiguidade ali. Dois ângulos diferentes têm a mesma tangente, e se a notação apontasse os dois ela não seria função.

Por isso a gente combina: quando eu uso arco tangente de A, eu estou falando do ângulo que tem tangente A e que está nesse intervalo, e esse cara é o único. Prender a tangente nessa faixa é o que faz ela virar bijetora e, portanto, ter inversa.

Quanto é arc tg de 1?

$\operatorname{arctg}1$ é $45^\circ$, ou $\tfrac{\pi}{4}$, porque a $\tg 45^\circ$ vale 1. O caminho é sempre o mesmo: você pergunta qual ângulo entre −90° e 90° tem aquela tangente.

Os valores notáveis saem todos assim:

Com tangente negativa funciona por simetria: você sabe que para tangente valer $\sqrt{3}$, o ângulo tem que ser de 60. Então, nesse caso, o ângulo tem que ser de menos 60, $-\tfrac{\pi}{3}$. Assim, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ é $-60^\circ$, $\operatorname{arctg}(-1)$ é $-45^\circ$ e $\operatorname{arctg}\!\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ é $-30^\circ$.

Repara numa diferença da tangente: não existe arc tg que dê exatamente 90°. A tangente cresce sem limite perto de 90°, então o arco tangente chega perto de $\pm 90^\circ$ mas nunca encosta, por isso o intervalo é aberto e a tabela não tem linha de 90°.

Resolvo mais um exemplo assim, passo a passo, no vídeo sobre a equação com tangente.

O arco tangente é uma função?

É, sim, como função, o arco tangente tem domínio em todos os números reais e imagem no intervalo aberto $\left(-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right)$.

O arco seno só aceita valores de −1 a 1. A tangente não: ela assume qualquer valor, então existe arc tg de qualquer número, e a resposta cai sempre entre −90° e 90°.

E o gráfico? O gráfico do arco tangente é o gráfico da tangente, restrito a esse intervalo, refletido pela reta $y = x$: cada ponto $(x,\ \tg x)$ vira $(\tg x,\ x)$. É essa reflexão que transforma a curva vertical da tangente na curva deitada do arco tangente. E as retas $x = \pm\tfrac{\pi}{2}$, que eram assíntotas verticais da tangente, viram as assíntotas horizontais $y = \pm\tfrac{\pi}{2}$ do arco tangente. A curva sobe de $-\tfrac{\pi}{2}$ a $\tfrac{\pi}{2}$ sem nunca tocar essas retas.

Como resolver equações de tangente?

Você resolve a equação $\tg(x) = k$ em duas etapas: primeiro o arco tangente te dá o valor principal, e depois você escreve todas as soluções somando $k\pi$.

O primeiro passo é entender o que você está procurando. O conjunto solução são todos os valores de x que satisfazem a equação, todos os valores de x que estão dentro de um conjunto que eu estou chamando de universo. O arco tangente te entrega um desses valores, o principal. É esse conjunto que eu detalho no vídeo sobre o conjunto solução de uma equação trigonométrica.

E aqui mora a diferença que separa a tangente do seno. Como a tangente se repete a cada meia volta, você tem dois caminhos: soma dois $k\pi$ nos dois caras, ou simplesmente soma $k\pi$ num único cara, porque aí você já pega todos os caras, você fica dando meia volta o tempo inteiro. Em símbolos: $x = \operatorname{arctg}(k) + k\pi$.

arc tg é o mesmo que $\tg^{-1}$?

É, sim: arc tg e $\tg^{-1}$ são a mesma coisa. As duas notações, mais arctan e atan, representam a função inversa da tangente, o ângulo cuja tangente é um valor dado.

Na calculadora científica, a tecla que faz o arco tangente costuma vir como $\tan^{-1}$ ou atan, quase sempre no shift ou no 2nd da tecla tan: você digita o valor da tangente e ela te devolve o ângulo. Só confere se ela está em graus ou radianos antes de confiar no número.

Qual a diferença pro arco seno?

O arco tangente é uma das três inversas trigonométricas, e a mesma lógica de valor principal vale pras três, muda o intervalo escolhido e o domínio.

O arco tangente se destaca em dois pontos. O domínio é a reta toda, porque a tangente assume qualquer valor. E, na equação, você soma $k\pi$ e não $2k\pi$, porque você fica dando meia volta o tempo inteiro, enquanto no seno e no cosseno a repetição só fecha depois de uma volta inteira, $2\pi$.

Arco seno (arc sen) Arco cosseno (arc cos)

Onde o arco tangente cai nas provas?

O arco tangente cai em ENEM, vestibulares e concursos militares de dois jeitos. Um: dentro de equações trigonométricas, achar o arco cuja tangente é um valor e escrever a família com $k\pi$. Esse é o recorte mais comum no ENEM e nos vestibulares. Dois: no estudo da função inversa, domínio, imagem, gráfico e assíntotas, que é o que ITA e IME cobram com rigor.

É o mesmo raciocínio que eu uso nos exemplos resolvidos das seções acima.

FAQ sobre o arco tangente