Como demonstrar a relação fundamental da trigonometria

Como se demonstra a relação fundamental?

A relação fundamental da trigonometria diz que o seno ao quadrado de um ângulo mais o cosseno ao quadrado de um ângulo é igual a 1, pra qualquer ângulo, sempre. E aqui eu não vou te mandar decorar isso: eu vou te mostrar de onde vem.

No fim da demonstração, a gente acabou de provar que seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado tem que dar um, qualquer que seja o ângulo, e você vai ver que, por baixo, é o Teorema de Pitágoras disfarçado.

Ela se chama fundamental porque aquele negócio deve ser importante pelo próprio nome: é a identidade que amarra o seno e o cosseno de um mesmo ângulo. Do triângulo retângulo ao ciclo de raio 1, aqui eu escrevo a prova inteira, confiro em 30° e resolvo um exemplo. Atualizado em julho de 2026.

A demonstração no triângulo retângulo

Começa desenhando um triângulo retângulo. Nele, o seno de x é igual à razão entre o cateto oposto ao lado x e a hipotenusa desse triângulo; o cosseno é o cateto adjacente sobre a mesma hipotenusa.

Chama a hipotenusa de a e os catetos de b (o oposto) e c (o adjacente). Então $\sen x = \tfrac{b}{a}$ e $\cos x = \tfrac{c}{a}$. Eleva os dois ao quadrado e soma:

$\sen^2x + \cos^2x = \tfrac{b^2}{a^2} + \tfrac{c^2}{a^2} = \tfrac{b^2+c^2}{a^2}$.

Aí vem a pergunta que fecha tudo: o que é b ao quadrado mais c ao quadrado, ou seja, a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo? É $a^2$, pelo Teorema de Pitágoras. Então $\tfrac{b^2+c^2}{a^2} = \tfrac{a^2}{a^2} = 1$.

Provado: $\sen^2x + \cos^2x = 1$.

Por que é o Teorema de Pitágoras?

Repara no que aconteceu na demonstração: você não usou nenhuma fórmula nova. Através do teorema de Pitágoras você consegue resolver isso, tendo só uma noção primitiva do que significam seno e cosseno.

A relação fundamental é simplesmente um teorema de Pitágoras, só que com a hipotenusa correndo pro denominador. No ciclo trigonométrico isso fica escancarado: a hipotenusa vale 1, os catetos são o seno e o cosseno, e Pitágoras diz que um ao quadrado é igual a seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado.

Ou seja: não é uma identidade pra decorar, é o Teorema de Pitágoras disfarçado. Entender isso é o que dispensa a decoreba, você reconstrói a relação a qualquer momento, mesmo que esqueça o nome dela.

A prova vale para qualquer ângulo?

A prova no triângulo retângulo tem um limite: triângulo só tem ângulos agudos, menores que 90°. E os outros ângulos? A relação continua valendo, a gente consegue provar sem muita dificuldade que vale para qualquer ângulo, mesmo que ele não esteja no triângulo.

O caminho é o ciclo trigonométrico de raio 1. Você projeta a extremidade do arco no eixo vertical e esse tamanho vai ser o seno desse ângulo; a projeção no eixo horizontal é o cosseno.

Aí você tem de novo um triângulo retângulo, agora de catetos seno e cosseno e hipotenusa 1, e Pitágoras devolve $\sen^2x + \cos^2x = 1$. Foi construído no primeiro quadrante, mas vale em qualquer um: o seno ao quadrado de 217° mais o cosseno ao quadrado de 217° sempre tem que dar 1.

Essa generalização pro ciclo eu refaço com calma no vídeo Relação Fundamental da Trigonometria: Outras Formas.

$\sen^2x$ é o mesmo que $\sen(x^2)$?

$\sen^2x$ quer dizer $(\sen x)^2$, o seno do ângulo, elevado ao quadrado. Não é $\sen(x^2)$, que seria elevar o ângulo ao quadrado primeiro.

Parece detalhe, mas troca tudo. Não é pegar o número 30 e elevar ao quadrado. Não, eu vou pegar o seno de 30. E aí eu vou elevar ao quadrado. São contas diferentes, e às vezes a gente escreve esse quadrado aqui para a gente não confundir, porque são coisas diferentes.

Então, na demonstração inteira, quando aparecer $\sen^2x$, leia como o seno do ângulo elevado ao quadrado, nunca o ângulo elevado ao quadrado. É esse cuidado com a notação que faz a verificação numérica bater certinho.

Como conferir que dá 1 mesmo?

Demonstração abstrata é ótima, mas dá pra conferir com número na mão. Pega um ângulo que a gente conhece, o de 30°.

Seno de 30, você sabe que é meio. Cosseno de 30 é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Leva os dois ao quadrado: $\left(\tfrac12\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \tfrac14 + \tfrac34 = \tfrac44 = 1$. Seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado deu igual a 1 como tinha que ser.

Não é mágica nem sorte do 30°: escolhi 30 só porque é fácil de conferir, mas ia dar 1 pra qualquer ângulo, é justamente o que a demonstração garante. Faz o teste com 45° ou 60° e a mesma coisa acontece.

Tenho o seno, como acho o cosseno?

Pra que serve provar isso tudo? Pra isto: se você tem um seno, automaticamente você consegue obter um cosseno; se você tem um cosseno, você acha o seno e por aí vai.

Na prática, você isola na relação, $\cos^2x = 1 - \sen^2x$, e tira a raiz. Aí aparece um detalhe: a raiz traz um $\pm$, então $\cos x = \pm\sqrt{1 - \sen^2x}$. Quem decide o sinal é o quadrante do ângulo: se você está no primeiro quadrante, seno é positivo, cosseno é positivo; no segundo, o cosseno já vira negativo, e assim por diante.

Então a relação fundamental não é só uma curiosidade provada: é a ferramenta que, dada uma razão, te devolve a outra. Falta só olhar o quadrante pra acertar o sinal.

Exemplo: achar o cosseno pelo seno

Bora ver rodando com número. Dado $\sen x = \tfrac13$, quanto é o cosseno?

Se o seno dele vale um terço então basta por exemplo eu escolher o b igual a um, o cateto oposto 1 e a hipotenusa 3. A gente já construiu o triângulo para o seno dar 1 terço, é o triângulo de hipotenusa 3.

Pitágoras acha o outro cateto: $c^2 = 3^2 - 1^2 = 8$, então $c = \sqrt{8}$. E aqui um passo que salva: a raiz do produto é o produto das raízes, eu posso quebrar essa operação assim, $\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Logo $\cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$, no primeiro quadrante.

Foi a relação fundamental, o Pitágoras disfarçado, resolvendo em quatro linhas.

Esse exemplo eu resolvo do início ao fim no vídeo Conhece esse truque de trigonometria? Relação Fundamental.

E as outras formas da relação?

Provada a relação base, dá pra ir além dela. Dividindo $\sen^2x + \cos^2x = 1$ por $\cos^2x$, você chega em $1 + \tg^2x = \sec^2x$; dividindo por $\sen^2x$, chega em $1 + \cotg^2x = \operatorname{cossec}^2x$. São a mesma relação reescrita, você vê que a informação é a mesma, seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é igual a 1, muda só a razão que aparece. No fundo tudo é a relação fundamental da trigonometria.

Aqui o foco é a demonstração da identidade base, então não vou refazer a derivação de cada forma linha a linha. Esse passo a passo, a divisão termo a termo, as restrições de validade e um exemplo com tangente, eu destrinchei na página sobre a relação fundamental e as outras formas.

Se a sua prova cobra essas formas derivadas, como as bancas militares cobram, é pra lá que você segue.

Onde a demonstração cai nas provas?

Na prova, a relação fundamental aparece de dois jeitos: simplificando identidades trigonométricas, trocar 1 por $\sen^2x + \cos^2x$ pra cancelar termos, por exemplo, e resolvendo questões em que você tem uma razão e precisa das outras.

No ENEM e nos vestibulares o uso costuma ser direto. Nas bancas militares, EsPCEx, AFA, ITA, IME, o rigor sobe: demonstrar a identidade, não só aplicá-la, entra no jogo.

E aqui está o ponto do método: se você entendeu que a relação é o Teorema de Pitágoras disfarçado, não precisa decorar nada. Reconstrói a demonstração na hora, do triângulo ao Pitágoras. É a diferença entre saber de onde vem e apostar na memória.

Se você quiser cobrir toda a trigonometria com essa lógica, é isso que eu faço no Lições de Matemática, meu curso completo de Matemática.

FAQ sobre a demonstração da relação fundamental