Arco duplo: fórmulas de sen 2x, cos 2x, tg 2x e arco metade

O que é o arco duplo?

Arco duplo é o seno, o cosseno ou a tangente de 2x escritos em função de x. Em vez de calcular o ângulo dobrado diretamente, você usa o que já sabe do ângulo original. Não é uma família nova de fórmulas: é a fórmula da soma de arcos com os dois ângulos iguais.

O mesmo vale para o arco triplo (3x) e para o arco metade (x/2). As três coisas saem da mesma raiz, e é por isso que você não precisa decorar nenhuma delas. Neste guia eu deduzo uma a uma, reúno tudo numa tabela e resolvo dois exemplos.

Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. Arco duplo, triplo e metade são a soma de arcos aplicada a ângulos iguais: quem deduz, não precisa decorar.

Se a soma de arcos ainda não está firme, comece por arcos compostos, onde a demonstração no ciclo trigonométrico está completa. Aqui eu assumo as duas fórmulas abaixo.

s e n (a + b) = s e n a \cos b + s e n b \cos a

\cos (a + b) = \cos a \cos b - s e n a s e n b

Como deduzir sen 2x e cos 2x?

Escreva 2x como x + x e faça a = b = x na soma. No seno, os dois termos do meio são iguais:

s e n 2 x = 2 s e n x \cos x

No cosseno, o segundo termo ganha sinal de menos e sobra uma diferença de quadrados:

\cos 2 x = \cos^{2} x - {s e n}^{2} x

Essa é a forma mais direta. Mas a relação fundamental, ${s e n}^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , deixa trocar um quadrado pelo outro. Substituindo sen² x por 1 − cos² x, ou cos² x por 1 − sen² x, nascem as outras duas formas:

\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 {s e n}^{2} x

Por que saber as três? Porque o problema quase sempre entrega só uma das funções. Se você conhece o cosseno, use a forma só com cosseno; se conhece o seno, use a só com seno. Escolher a forma certa economiza uma conta inteira. A relação fundamental tem página própria, com a demonstração.

Seno, cosseno e tangente: de onde vêm e como usar

E a tangente do arco dobrado?

A tangente é seno sobre cosseno. Divida sen 2x por cos 2x e, no numerador e no denominador, divida tudo por cos² x. O que aparece:

t g 2 x = \frac{2 t g x}{1 - {t g}^{2} x}

Uma ressalva que muita gente esquece: a fórmula exige que tg x exista (x diferente de 90° + k · 180°) e que o denominador não zere, ou seja, x diferente de 45° + k · 90°. Fora disso, tg 2x ou não existe, ou precisa ser calculada por seno e cosseno. Na dúvida, calcule sen 2x e cos 2x e divida.

Existe fórmula para o arco triplo?

Existe, e ela também sai da soma. Escreva 3x = 2x + x:

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - s e n a s e n b$ com a = 2x e b = x dá cos 3x = cos 2x · cos x − sen 2x · sen x. Troque cos 2x por 2cos² x − 1 e sen 2x por 2 sen x cos x. Depois de simplificar com a relação fundamental:

\cos 3 x = 4 \cos^{3} x - 3 \cos x

O mesmo caminho no seno leva a:

s e n 3 x = 3 s e n x - 4 {s e n}^{3} x

Na revisão de Matemática da FUVEST que gravei, o professor diz exatamente isso: o arco triplo é dispensável. Na questão em que ele aparece, a saída é escrever cos 3θ como cos(2θ + θ) e usar a soma com o arco duplo. Se você sabe deduzir, não perde nada por esquecer a fórmula pronta.

Como achar sen, cos e tg de x/2?

O arco metade é o arco duplo lido ao contrário. Em cos 2x = 1 − 2 sen² x, troque 2x por x e x por x/2. Isole o quadrado:

{s e n}^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}

Tire a raiz, e é aqui que mora a armadilha: o sinal.

s e n \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

O ± não é enfeite. O sinal vem do quadrante de x/2, não do de x. Exemplo: x = 300° está no quarto quadrante, mas x/2 = 150° está no segundo, e lá o seno é positivo e o cosseno é negativo. Antes de tirar a raiz, localize x/2 no ciclo.

Para a tangente, dividir as duas raízes dá a forma com ±. Há duas formas sem raiz e sem sinal para decidir:

t g \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{s e n x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{s e n x}

Prefira essas duas quando tiver sen x e cos x em mãos: elas já carregam o sinal certo.

Tabela-resumo: tudo em um lugar

A tabela reúne as fórmulas das seções anteriores. Use-a para conferir, não para decorar: cada linha sai da soma de arcos em duas ou três linhas de conta.

Arco	Seno	Cosseno	Tangente
2x	$2 s e n x \cos x$	$\cos^{2} x - {s e n}^{2} x$ $2 \cos^{2} x - 1$ $1 - 2 {s e n}^{2} x$	$\frac{2 t g x}{1 - {t g}^{2} x}$
3x	$3 s e n x - 4 {s e n}^{3} x$	$4 \cos^{3} x - 3 \cos x$	raro: use $s e n / \cos$
x/2	$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$	$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$	$\frac{s e n x}{1 + \cos x}$ $\frac{1 - \cos x}{s e n x}$

Duas regras de bolso. Se o enunciado pede o dobro, o arco duplo troca 2x por x. Se pede a metade, o arco metade troca x por x/2, e você sempre confere o quadrante de x/2.

Dois exemplos resolvidos

Exemplo 1: cos 2x, sen 2x e tg 2x

Dado cos x = 3/5, com x no primeiro quadrante, calcule cos 2x. A forma só com cosseno resolve de uma vez:

\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

Para sen 2x e tg 2x, falta o seno. Pelo triângulo 3-4-5 (ou pela relação fundamental), sen x = 4/5 no primeiro quadrante. Então:

s e n x = \frac{4}{5} \Rightarrow s e n 2 x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \Rightarrow t g 2 x = \frac{24 / 25}{- 7 / 25} = - \frac{24}{7}

Confira pela fórmula da tangente: tg x = 4/3 e 2 · (4/3) / (1 − 16/9) = (8/3) / (−7/9) = −24/7. Mesmo valor. Note que 2x passou de 90° e por isso o cosseno ficou negativo: o resultado negativo não é erro.

Exemplo 2: sen 15° como metade de 30°

Veja 15° como 30°/2. Como 30° é notável, o cosseno é conhecido, e o arco metade faz o resto:

{s e n}^{2} 1 5^{\circ} = \frac{1 - \cos 3 0^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}

Como 15° está no primeiro quadrante, o seno é positivo:

s e n 1 5^{\circ} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0, 2588

É o mesmo valor que se obtém por 45° − 30° na subtração de arcos, que você pode conferir em arcos compostos. Dois caminhos, uma resposta: é uma boa verificação.

Onde o arco duplo cai na prova?

O uso mais comum é em equações trigonométricas: uma equação com sen 2x e cos x, por exemplo, só se resolve depois de trocar sen 2x por 2 sen x cos x e colocar sen x ou cos x em evidência. Outro uso é reduzir uma expressão a uma única função, o que facilita limitar valores ou resolver uma equação do segundo grau em cos x.

Na revisão de trigonometria da FUVEST, o arco duplo aparece dentro de uma questão de geometria: dois cabos de comprimento L formam entre si um ângulo 2α e prendem uma viga de comprimento D. Pela lei dos cossenos, e com 1 − cos 2α = 2 sen² α:

D^{2} = 2 L^{2} (1 - \cos 2 α) = 2 L^{2} \cdot 2 {s e n}^{2} α \Rightarrow D = 2 L s e n α

O professor ainda mostra que o caminho curto é traçar a altura do triângulo isósceles, mas o ponto é que a identidade do arco duplo liga as duas resoluções. Para esse tipo de questão vale revisar também a lei dos cossenos e o capítulo de revisão de Matemática da FUVEST.

Os erros mais comuns com arco duplo e arco metade

Três erros respondem pela maior parte dos pontos perdidos.

01
Dizer que sen 2x = 2 sen x
O seno não é uma constante que se distribui: sen 2x = 2 sen x cos x. Teste com x = 30°: sen 60° = 0,87, mas 2 sen 30° = 1.
Como evitar: sempre que aparecer o seno de um múltiplo, passe pela soma de arcos antes de simplificar.
02
Esquecer o sinal no arco metade
A raiz quadrada gera ±, e o sinal depende do quadrante de x/2. Pegar sempre o positivo dá cosseno positivo em ângulos que o têm negativo.
Como evitar: localize x/2 no ciclo trigonométrico antes de tirar a raiz.
03
Usar a forma errada de cos 2x
As três formas valem, mas escolher a que exige um dado que você não tem multiplica a conta.
Como evitar: olhe o que o problema entrega (seno, cosseno ou tangente) e use a forma que só pede isso.

FAQ: arco duplo

Qual é a fórmula do seno do arco duplo?

sen 2x = 2 · sen x · cos x. Ela sai da fórmula do seno da soma, sen(a + b), fazendo a = b = x. Os dois termos do meio ficam iguais e somam o dobro de sen x · cos x.

Qual é a fórmula do cosseno do arco duplo?

cos 2x = cos² x − sen² x. Usando sen² x + cos² x = 1 dá para reescrever como 2cos² x − 1 ou 1 − 2sen² x. As três formas valem sempre; escolha a que usa o dado que o problema já forneceu.

Como calcular a tangente do arco duplo?

tg 2x = 2 · tg x / (1 − tg² x). Ela sai de sen 2x dividido por cos 2x, com numerador e denominador divididos por cos² x. Só vale quando tg x existe e tg² x é diferente de 1, isto é, x diferente de 45° + k · 90°.

Qual é a fórmula do arco triplo?

sen 3x = 3 sen x − 4 sen³ x e cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x. Na prova não precisa decorar: escreva 3x = 2x + x e use a soma de arcos com as fórmulas do arco duplo.

Como usar as fórmulas do arco metade?

Parta de cos x, escolha a forma de cos 2x que isola o quadrado e troque x por x/2: sen²(x/2) = (1 − cos x)/2 e cos²(x/2) = (1 + cos x)/2. Depois tire a raiz e decida o sinal pelo quadrante de x/2, não pelo de x.

Como achar o seno de 15° com arco metade?

Veja 15° como a metade de 30°. Então sen² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4, e como 15° está no primeiro quadrante o seno é positivo: sen 15° = √(2 − √3)/2, que é igual a (√6 − √2)/4.

Para que servem essas fórmulas na prova?

Para trocar o ângulo da equação por um mais simples (2x por x), reduzir tudo a uma só função (só cosseno, por exemplo) e calcular valores não notáveis a partir de ângulos notáveis. Aparecem em equações trigonométricas e em questões de vestibular que combinam trigonometria com geometria.

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Como deduzir sen 2x e cos 2x?

E a tangente do arco dobrado?

Existe fórmula para o arco triplo?

Como achar sen, cos e tg de x/2?

Tabela-resumo: tudo em um lugar

Dois exemplos resolvidos

Exemplo 1: cos 2x, sen 2x e tg 2x

Exemplo 2: sen 15° como metade de 30°

Onde o arco duplo cai na prova?

Os erros mais comuns com arco duplo e arco metade

Dizer que sen 2x = 2 sen x

Esquecer o sinal no arco metade

Usar a forma errada de cos 2x

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