Volume da pirâmide: fórmula, exemplo e erros

O que é o volume da pirâmide?

É a medida do espaço que a pirâmide ocupa. Uma pirâmide tem uma base poligonal, que pode ser triângulo, quadrado, hexágono ou qualquer polígono, e um vértice fora do plano da base. O volume vale um terço do volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura.

A pirâmide está para o prisma assim como o cone está para o cilindro.

Uma conferência com números da própria aula: um prisma de base triângulo retângulo com catetos 6 e 6 e altura 6 tem volume ${\displaystyle \frac{6\cdot 6}{2}}\cdot 6=108$. A pirâmide de mesma base e mesma altura tem 108 ÷ 3 = 36. É o resultado do tetraedro tri-retângulo da aula, calculado de outro jeito: ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{6\cdot 6}{2}}\cdot 6=36$.

Qual é a fórmula do volume da pirâmide?

A área da base depende do polígono; a fórmula do volume é a mesma para qualquer pirâmide.

Quando falta a altura, ela sai de Pitágoras. Na pirâmide regular, a altura cai no centro da base e forma um triângulo retângulo com a metade da diagonal d e a aresta lateral a:

Como calcular o volume da pirâmide passo a passo?

O exemplo do professor: uma pirâmide regular de base quadrada, com altura 8 e aresta da base 12. Pede-se o volume.

1. Identifique a base. É um quadrado de lado 12, então A_b = 12² = 144.
2. Anote a altura. h = 8, a distância do vértice ao centro da base.
3. Aplique a fórmula. $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 12^2\cdot 8={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 144\cdot 8=384$.

Resultado: V = 384 (em m³, se tudo estiver em metros).

O mesmo exemplo mostra a diferença entre altura e apótema. A aresta lateral vem da metade da diagonal da base, 6√2, e da altura 8: $a^2=(6\sqrt{2}{)}^2+8^2=72+64=136\Rightarrow a=2\sqrt{34}$. O apótema da pirâmide (altura de cada face) fecha com a altura 8 e o apótema da base 6 o triângulo 6-8-10, então vale 10. Não o confunda com a altura.

Quais erros mais comuns no volume da pirâmide?

1. 01

   Usar um segmento inclinado como altura

   A altura é a perpendicular do vértice ao plano da base. A aresta lateral e o apótema são inclinados e dão volume maior que o real.

   Como evitar: ache a altura por Pitágoras antes de aplicar a fórmula.
2. 02

   Esquecer o 1/3

   Multiplicar só A_b · h dá o volume do prisma, três vezes maior que o da pirâmide.

   Como evitar: confira a ordem de grandeza: o resultado tem que ser menor que o do prisma de mesma base e altura.
3. 03

   Confundir a altura da pirâmide com a altura da face

   O apótema (10 no exemplo) serve para a área lateral. No volume entra a altura da pirâmide (8).

   Como evitar: pergunte: este segmento chega ao plano da base em ângulo reto?

FAQ: volume da pirâmide