Fórmula do volume do cone: V = πr²h/3

Qual é a fórmula do volume do cone?

Para um cone de base circular com raio r e altura h (distância do vértice ao plano da base, medida na perpendicular):

O que significa cada símbolo?

Três medidas — e uma quarta que aparece no enunciado mas não entra aqui:

De onde vem a fórmula?

O cone está para o cilindro assim como a pirâmide está para o prisma. O prisma tem duas bases poligonais; trocando uma delas por um ponto, sai a pirâmide. O cilindro tem duas bases circulares; trocando uma delas por um ponto e ligando esse ponto a todos os pontos da outra, sai o cone. Por isso o cone herda o comportamento da pirâmide.

E a pirâmide tem volume de um terço de $A_{base}\cdot h$. Esse terço vem de decompor um prisma triangular em três pirâmides de mesmo volume. Pelo princípio de Cavalieri, quando duas pirâmides têm bases de mesma área e mesma altura, toda fatia paralela à base tem a mesma área nas duas, e os volumes coincidem. Isso vale também quando a base não é um polígono.

Vale para o cone, então: o cone tem a mesma altura e a mesma área de base ($\pi r^2$) que uma pirâmide qualquer, e as fatias paralelas à base encolhem do mesmo jeito até o vértice. Resultado: o mesmo fator 1/3. O teste físico confirma: encha um cone de água e despeje num cilindro de mesma base e altura. São exatamente três vezes para encher.

Repare no que a fórmula não pede: nem o vértice sobre o centro da base, nem a geratriz. Só a área da base e a altura perpendicular. Por isso o cone oblíquo (tombado) tem o mesmo volume do reto de mesma base e altura.

Selo Demonstrável — deduzida do volume da pirâmide e do princípio de Cavalieri, que faz papel de postulado na geometria elementar.

Quando usar (e quando não)?

Use para qualquer cone de base circular: casquinha, funil, chapéu, ponta de lápis, monte de areia. A conta sempre começa pela área da base e termina com a divisão por 3.

O enunciado quase sempre entrega a geratriz $g$ em vez da altura. No cone reto, a altura sai de $g^2=r^2+h^2$ (Pitágoras, com g como hipotenusa) antes de você entrar na fórmula. Para a área da superfície, veja a ficha da área lateral do cone.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê: a base tem raio 6 cm, então área de $36\pi \approx 113$ cm². Com altura perto de 8, o cilindro teria algo como 900 cm³, e o cone, um terço disso: perto de 300 cm³. Guarda isso e confere no fim:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Usar a geratriz no lugar da altura

   O enunciado entrega g e o aluno apressado a joga direto em $\frac{1}{3}\pi r^{2}g$. O resultado sai maior do que o real, em todos os casos.

   Como evitar: antes da fórmula, ache h por $h^2=g^2-r^2$ e escreva o valor de h ao lado.
2. 02

   Esquecer o fator 1/3

   Calcular $\pi r^{2}h$ e parar dá o volume do cilindro, não o do cone. A resposta sai 3 vezes maior.

   Como evitar: escreva o $\frac{1}{3}$ antes de qualquer substituição; depois confira se o resultado é menor que o do cilindro.
3. 03

   Confundir raio e diâmetro

   Se o enunciado dá o diâmetro e você o usa como r, o r² quadruplica o volume. O erro se amplifica porque o raio está ao quadrado.

   Como evitar: identifique logo no início se o número dado é raio ou diâmetro e divida por 2 antes de qualquer conta.

FAQ: perguntas sobre o volume do cone