Espiral de Fibonacci: como desenhar e o que ela é de verdade

O que é a espiral de Fibonacci?

É uma espiral construída com quadrados. Os lados dos quadrados são os números da sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…), e a curva é feita de arcos de quarto de circunferência, um por quadrado, ligados ponta com ponta.

Se você ainda não viu a regra que gera os números, comece pela sequência de Fibonacci: cada termo é a soma dos dois anteriores.

Como desenhar a espiral de Fibonacci passo a passo?

Você precisa de papel quadriculado, compasso e esquadro. Escolha uma unidade (um quadradinho, por exemplo) e siga:

1. Dois quadrados de lado 1, lado a lado. Juntos formam um retângulo 2 × 1.
2. Um quadrado de lado 2 sobre o lado maior (o lado de comprimento 2). O retângulo agora é 3 × 2.
3. Um quadrado de lado 3 encostado no lado maior de novo, girando para o lado seguinte. Retângulo 5 × 3.
4. Repita com 5, 8, 13, 21. O lado novo é o lado maior do retângulo que já existe, que é a soma dos dois quadrados anteriores.
5. Em cada quadrado, trace o arco de um quarto de circunferência entre dois cantos opostos, com raio igual ao lado. O arco começa onde o anterior terminou, e o centro fica na outra ponta do lado que os dois quadrados dividem.

Não é truque de desenho: é a recorrência aparecendo como geometria. Desenhar uma vez à mão vale mais do que ler dez explicações.

Qual a relação entre a espiral e a razão áurea?

Olhe o retângulo que vai sendo formado. Depois dos quadrados 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e 21, ele mede 34 × 21. A razão entre os lados de cada retângulo é uma razão entre dois números de Fibonacci consecutivos:

Os valores oscilam em torno de um número e chegam cada vez mais perto dele: ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}\to \phi$, onde

é a razão áurea. Ela vem da equação ${\phi }^2=\phi +1$. Se a razão entre termos vizinhos se aproxima de um valor r, e cada termo é a soma dos dois anteriores, então r precisa satisfazer r = 1 + 1/r, o que dá r² = r + 1. A raiz positiva é φ. É a mesma equação que produz a fórmula de Binet, e por isso φ aparece em todo o assunto.

Um detalhe que costuma passar batido: não é uma progressão geométrica de verdade. Numa PG a razão é fixa. Aqui ela só converge para φ, sem nunca valer exatamente φ para nenhum termo, e φ é irracional. Não existe razão de dois inteiros que seja igual a ele.

Espiral de Fibonacci ou espiral áurea?

As duas são chamadas de "espiral de ouro" em muita página da internet, mas são curvas diferentes. Vale ser preciso aqui.

A espiral áurea, por ser logarítmica, tem uma propriedade característica: o raio é multiplicado por φ a cada quarto de volta. Em uma volta completa, o fator é ${\phi }^4\approx 6,85$. Toda espiral logarítmica cresce por um fator constante por ângulo, e a áurea é aquela cujo fator é φ por quarto de volta.

Isso desmonta uma meia-verdade comum: "a espiral de Fibonacci é a espiral áurea". A de Fibonacci é uma aproximação feita de arcos de circunferência, e fica mais fiel a cada quadrado que você acrescenta, porque a razão entre os lados consecutivos converge para φ. Ainda assim, o que você desenha no caderno nunca é, estritamente, a curva logarítmica.

A espiral de Fibonacci aparece na natureza?

Parcialmente, e é aqui que o assunto se separa em verdade e lenda. Os números de Fibonacci aparecem de verdade nas espirais dos girassóis (tipicamente 34 e 55 espirais em sentidos opostos), nas pinhas e nos abacaxis (8 e 13, por exemplo). O motivo não é místico: cada semente nasce girada cerca de 137,5° em relação à anterior, o ângulo de ouro, que é o jeito de empacotar sementes sem formar raios vazios. Esse mecanismo está explicado em Fibonacci na natureza.

O que costuma ser mito é a imagem da espiral dourada por cima de outras coisas:

• Nautilus. A concha é uma espiral logarítmica, mas cresce por um fator em torno de 3 por volta, e não por 6,85.
• Furacões e galáxias. São espirais logarítmicas de outras taxas de crescimento. A sobreposição "encaixa" porque foi redimensionada até encaixar.
• Homem Vitruviano e rostos. Com liberdade de escolher onde a régua começa e termina, qualquer razão aparece em qualquer coisa.

O critério que eu uso é simples: onde há mecanismo, o padrão resiste à contagem. Onde há só uma espiral desenhada por cima de uma foto, desconfie. No vídeo eu percorro esses exemplos e separo o que é verdade do que é invenção de internet.

Os erros mais comuns com a espiral de Fibonacci

Três erros que aparecem em trabalho de escola e em post de rede social.

1. 01

   Chamar qualquer espiral de "espiral de Fibonacci"

   Espiral logarítmica é uma família enorme. A áurea é uma delas, e a de Fibonacci é uma aproximação feita de arcos de circunferência.

   Como evitar: pergunte pelo fator de crescimento: φ por quarto de volta é áurea; outro fator é outra espiral.
2. 02

   Começar com um quadrado só

   A sequência começa com dois uns. Se você desenha um quadrado de lado 1 e já passa para o de lado 2, falta um termo e o retângulo não fecha.

   Como evitar: comece sempre com dois quadrados de lado 1 lado a lado.
3. 03

   Achar que a razão entre termos é exatamente φ

   F(n+1)/F(n) só tende a φ. Vale 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615… sem nunca ser igual.

   Como evitar: trate φ como o limite da razão, e não como um valor que algum termo atinge.

FAQ: espiral de fibonacci