Sequência de Fibonacci: a regra, a fórmula e o mito

O que é a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci é aquela em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Começa com 0 e 1, e daí vai 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… A regra é essa e ponto.

Não é pra decorar a lista, é pra sacar a regra que gera a lista inteira. Você só consegue escrever em função dos anteriores a partir do terceiro, porque o terceiro é a soma dos dois anteriores.

E ela aparece nos lugares mais improváveis. Se tem um indivíduo que aparece em locais inusitados, é o pi e o maldito fibonacci: ele pinta em contagem, em geometria, em arte. Eu já vi essa sequência surgir do nada resolvendo um problema de gente voltando pra cadeira no cinema, ela simplesmente apareceu.

E aqui a fórmula é texto de verdade, não imagem: dá pra copiar e ler no celular sem apertar os olhos.

De onde veio a Fibonacci?

O nome vem de Leonardo de Pisa, apelidado Fibonacci, que apresentou a sequência ao Ocidente em 1202, no livro Liber Abaci. Ele usou um problema fictício sobre a reprodução de coelhos, mês a mês, e a sequência caiu no colo.

Mas, pra ser honesto com você, ele não inventou nada. A sequência já aparecia séculos antes na matemática indiana, ligada à contagem de padrões métricos. Isso não diminui a história, só coloca cada coisa no lugar certo.

E a tal reprodução de bichos não é papo furado: ela reaparece nas abelhas, em que o zangão tem só mãe e nenhum pai, e a contagem de ancestrais dele vai desenhando a sequência.

Guarda essa ideia de "aparece em vários lugares". Ela volta lá na frente, quando a gente for separar o que é verdade do que é lenda nessa história de Fibonacci na natureza.

Como montar a sequência passo a passo?

Montar a sequência é mais fácil do que parece: cada elemento é igual a soma dos dois anteriores. Um mais um, dois; um mais dois, três; dois mais três, cinco. E daí você só repete a regra o quanto quiser.

Pega os dois primeiros, 0 e 1, soma pra achar o próximo e vai empurrando:

• 0, 1 → soma 1
• 1, 1 → soma 2
• 1, 2 → soma 3
• 2, 3 → soma 5
• 3, 5 → soma 8
• 5, 8 → soma 13

Segue assim e você chega em 21, 34, 55, 89, 144… A tabela aqui do lado vai bem mais longe, pra você conferir a sua lista de exercícios sem somar tudo na mão.

O segredo é perceber que não tem mágica nenhuma. É a mesma somazinha se repetindo. Quando você enxerga isso, calcular o vigésimo termo deixa de ser assustador e vira só paciência.

Calculadora da sequência de Fibonacci

Se você quer só o resultado, digita a posição e a calculadora te devolve o termo na hora. Ela ainda lista os primeiros números pra você bater com a sua lista de exercícios.

Coloca 10 e ela mostra que o décimo termo é 55. Coloca 20 e ela chega em 6765 sem você somar vinte vezes.

A ferramenta não substitui entender a regra, por isso ela vem depois do passo a passo. Mas mata na hora aquela dúvida do "será que errei uma soma no meio?".

Usa pra conferir o dever, pra ver como os números disparam rápido, ou só pra brincar de acompanhar a sequência crescer. É o recurso que nenhum texto sobre o tema costuma te dar.

Conferência rápida. Pra quem só quer bater um valor específico sem digitar nada, os pontos de referência mais pedidos:

Qual é a relação de recorrência?

A regra que gera tudo tem nome: relação de recorrência. Cada novo termo é obtido em função dos termos anteriores.

E cada número de Fibonacci depende dos dois que vêm antes dele. Isso é chamado de recorrência de segunda ordem. Em símbolos, e aqui em KaTeX de verdade:

É essa frasezinha que quem programa enxerga na hora como uma função que chama a si mesma, recursão pura. Sacou por que Fibonacci é o exemplo clássico de recursão? A definição já é recursiva: pra saber um termo, você precisa dos dois anteriores, que por sua vez pedem os dois deles, até bater no 0 e no 1.

Foi assim que ela apareceu num problema de contagem que eu resolvi: dez pessoas voltando pro próprio assento ou pro vizinho. Cada caso era a soma dos dois anteriores. Fibonacci puro.

Como calcular um termo com Binet?

Dá pra achar qualquer termo sem somar todos os anteriores. Essa sequência recursiva maluca, em que cada termo é a soma dos dois anteriores, pode ser dada em função de N por meio de uma fórmula fechada, a fórmula de Binet:

E ela não cai do céu. A gente resolve a recorrência supondo que a solução é do tipo exponencial (algo como $Q^n$), joga na relação e cai numa equação do segundo grau: a equação característica $x^2 - x - 1 = 0$. As raízes dela montam a fórmula.

Aí vem o que quase nenhum material faz, aplicar com número. Pra n = 10, você substitui, as potências se ajeitam, os irracionais se cancelam e sobra 55, inteirinho. Testa com a calculadora lá de cima: décimo termo, 55. Bateu.

E não é sorte: a conta feia vai dar um valor, vai dar um valor inteiro, vai dar um valor natural, uma fórmula cheia de raiz de cinco cuspindo número inteiro.

O que é a razão áurea?

A razão áurea é o número $\Phi \approx 1{,}618$, e ela está grudada na Fibonacci de um jeito bonito: divide cada termo pelo anterior e o resultado vai chegando cada vez mais perto de $\Phi$.

Divide 89 por 55, dá 1,618. Divide 144 por 89, dá 1,618 de novo. Não é coincidência, é a razão áurea aparecendo.

Ela nasce de uma pergunta geométrica simples: como dividir um segmento em "média e extrema razão". Isso vira a equação do segundo grau $x^2 - x - 1 = 0$, e a raiz positiva é exatamente:

Isso eu vi ao vivo reagindo a uma animação de geometria: ele construiu esse pentágono lá e apareceu um monte de phi de novo, que é a razão áurea. É o mesmo $\Phi$, saindo de todo lugar.

Não é uma progressão geométrica de verdade, numa PG a razão entre termos é fixa, aqui ela converge, mas nunca é exatamente 1,618 pra nenhum n finito. Ainda assim, o instinto de olhar a razão entre termos vem exatamente de lá:

Como se desenha a espiral?

A espiral que você vê por aí sai de uma construção simples, e eu te mostro o passo a passo:

1. desenha quadrados com lados iguais aos termos de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13;
2. encaixa um do lado do outro, formando um retângulo;
3. liga os cantos opostos de cada quadrado com um arco de um quarto de círculo.

Junta os arcos e nasce a espiral.

Repara que o retângulo grande que vai se formando é o retângulo áureo: a razão entre os lados tende a $\Phi$, o mesmo 1,618 da seção anterior. A razão áurea também pode ser construída dentro desse retângulo, dessa figura, né? Essa sequência de Fibonacci pode ser visualizada a partir disso.

A ideia geométrica por trás é a mesma que aparece quando você pegar um polígono regular de N lados e você faz esse N tender a infinito. A visualização e os números são a mesma coisa, vista de dois ângulos.

Fibonacci aparece mesmo na natureza?

Aquela história de que a espiral de Fibonacci está em tudo na natureza? Será? Na verdade, não, na maior parte, é invenção.

A maioria das imagens que rodam por aí tem a proporção alterada de propósito pra encaixar na espiral. E o exemplo mais citado, o Homem Vitruviano, não segue a razão áurea: as proporções dele vêm do De architectura, de Vitrúvio, não do $\Phi$. Concha do nautilus, rosto da Monalisa, furacão, quase sempre é forçado.

Só que existem exceções de verdade, e é justo reconhecer:

• a filotaxia de girassóis e pinhas, em que sementes e escamas se arranjam seguindo números de Fibonacci;
• os gomos do abacaxi, cujas espirais batem com termos da sequência;
• a genealogia do zangão, a abelha macho que só tem mãe.

A régua é simples: bonito não quer dizer verdadeiro. Duvida, mede e confere na fonte.

Onde a Fibonacci aparece de verdade?

Onde a Fibonacci aparece de verdade, sem forçar a barra? Dentro da própria matemática.

No Triângulo de Pascal, por exemplo: se você soma os números nas diagonais certas, os termos de Fibonacci saltam pra fora, um atrás do outro. Isso é uma equação muito comum em vários problemas de combinatória e tal, né? Essa sequência, ela aparece nos mais variados lugares, não é à toa, não.

Ela também mora nas diagonais do pentágono regular, onde as razões entre os segmentos batem na razão áurea.

Repara na diferença pra seção anterior: aqui não é foto editada de concha, é estrutura matemática que você confere por conta própria, somando e medindo. Quando algo aparece em contagem, em geometria e em recorrência ao mesmo tempo, não é coincidência, é sinal de que tem estrutura profunda por baixo.

Para que serve na prática?

Fora da prova, a Fibonacci tem uso concreto em dois mundos bem diferentes.

No mercado financeiro, operadores usam a retração de Fibonacci pra marcar possíveis níveis de suporte e resistência num gráfico de preço, traçando faixas em proporções ligadas à razão áurea. E aqui vai o aviso honesto: isso é ferramenta de análise, não recomendação de investimento.

Na computação, calcular Fibonacci é o exercício clássico pra entender recursão, a definição já é recursiva, lembra?

Só que a versão recursiva ingênua recalcula os mesmos termos um monte de vezes e fica lenta pra caramba. Aí entram duas saídas:

• a memoização, que guarda o que já foi calculado;
• a versão iterativa, que resolve em tempo linear.

É o caso perfeito pra ver, na prática, por que a mesma conta pode ser burra ou esperta dependendo de como você organiza.

FAQ: perguntas sobre a sequência de Fibonacci