Razão e proporção: do conceito à questão de ENEM.

O que é razão e proporção?

Você sabe o que é uma razão? É muito simples isso, né, cara? Uma razão nada mais é do que uma divisão: a comparação entre duas grandezas, escrita como $\tfrac{a}{b}$. E uma proporção é a igualdade entre duas razões, $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$. Esse par é o que a gente monta aqui, do conceito à prova.

É o que eu ensino no Universo Narrado, onde já passamos de 1 milhão de inscritos. E a régua é sempre a mesma: entender, não decorar.

Pra não ficar no abstrato, pensa comigo. Eu posso pegar a razão do número de alunos para não alunos nessa live. Eu diria que é de 2 para 1. Isso significa que eu tenho duas vezes mais alunos do que não alunos. A razão carrega esse significado concreto. Ela não é só um número em cima do outro.

Aqui a gente constrói os dois do zero: do conceito à multiplicação cruzada, às grandezas diretas e inversas, à divisão proporcional, à regra de três e às questões de ENEM resolvidas passo a passo. Atualizado em julho de 2026.

Qual a diferença entre razão e fração?

Razão e fração se escrevem igual, um número sobre o outro. Mas não são a mesma coisa. Fração compara a parte com o todo: $\tfrac{3}{4}$ de uma pizza são três pedaços de um bolo de quatro. Razão compara duas grandezas quaisquer, e aí a ordem importa. A razão de meninos para meninas numa turma, 3 para 2, é $\tfrac{3}{2}$, e não $\tfrac{2}{3}$.

Quando as duas grandezas são partes do mesmo todo, a razão coincide com uma fração. Quando são coisas diferentes, tipo distância e tempo, ou tinta e água, a razão é uma comparação que a fração sozinha não conta.

Esclarecer isso primeiro é o que destrava o resto do assunto.

Como resolver uma proporção?

Para resolver qualquer proporção, você multiplica cruzado. Numa igualdade de razões $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: $a\cdot d = b\cdot c$.

E olha, eu vou até passar essa fórmula mas eu não vou vomitar essa forma para você não na verdade nós vamos construir essa fórmula aqui juntos, partindo do que uma igualdade de razões significa de verdade. Não precisa decorar: sempre né que você tem uma razão uma igualdade de razões, você pode multiplicar cruzado, e é daí que sai a regra de três.

É a diferença entre decorar o macete e entender por que o macete existe. Na prática são três passos:

1. Escreva a proporção como $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$, colocando o que você não sabe como incógnita.
2. Multiplique cruzado: $a\cdot d = b\cdot c$.
3. Isole a incógnita e resolva a equação que sobrou.

O que são grandezas diretas e inversas?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante: dobra uma, dobra a outra. Muito cuidado aqui, que não é só "aumenta uma, aumenta a outra" de qualquer jeito: na verdade é quando elas aumentam ou diminuem na mesma proporção. São grandezas tais que a razão é uma constante.

Já nas inversamente proporcionais, o lance aqui não é a razão, é o produto, né? Porque se uma dobra, a outra tem que reduzir pela metade. Mais velocidade, menos tempo pra mesma distância.

O critério é esse, e é ele que decide, não a sua intuição:

Como saber se é direta ou inversa?

Para saber na hora se duas grandezas são diretas ou inversas, olha o gráfico. Sempre que elas são diretamente proporcionais, o gráfico que relaciona as duas vai ser sempre uma reta passando pela origem. Quando são inversamente proporcionais, o desenho vira uma curva: mais precisamente é um ramo de hipérbole, mas você pode conhecer só como hipérbole, aquela linha que desce e vai se aproximando dos eixos sem nunca encostar.

Ver os dois lado a lado fixa a diferença que a definição sozinha não fixa: reta pela origem é direta, hipérbole é inversa.

Na prova, se você conseguir imaginar o gráfico, não erra mais qual é qual.

Como dividir em partes proporcionais?

Para dividir uma quantidade em partes proporcionais, use a constante de proporcionalidade K: cada parte vale K vezes o seu número.

Pega um caso concreto. Eu tenho 240 reais. 240 pilas, tá? Eu quero dividi-los em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. O passo a passo é este:

1. Escreva cada parte como um múltiplo de K: $3K$, $4K$ e $5K$.
2. Some tudo e iguale ao total: $3K + 4K + 5K = 240$, ou seja, $12K = 240$.
3. Ache o K: $K = 20$.
4. Volte e calcule cada parte multiplicando por 20.

As partes saem assim:

Como montar uma regra de três?

A regra de três é só uma proporção montada e resolvida com multiplicação cruzada. É por isso que ela vem depois da propriedade fundamental, não antes.

Na simples, você tem duas grandezas. Digamos que você vai a 60 quilômetros por hora pra fazer 360 km: quanto tempo você demora ué demora seis horas. Velocidade e tempo são inversamente proporcionais, o produto se mantém e fecha em 6 horas.

Na composta entram três grandezas ou mais ao mesmo tempo. É o caso clássico das torneiras, duas enchendo um tanque e um ralo esvaziando. No fundo é só sacar que 1 sobre o tempo da torneira A mais 1 sobre o tempo da torneira B é igual a 1 sobre o tempo delas juntas, e o ralo entra subtraindo.

O pulo do gato é classificar cada grandeza antes de montar a conta:

1. Monte a proporção com os valores que você tem.
2. Classifique cada grandeza como direta ou inversa em relação à que você procura.
3. Resolva com multiplicação cruzada.

É essa classificação que evita a pegadinha de banca.

Onde a proporção aparece no dia a dia?

Proporção não é conta de prova só. É o que faz a mistura da lata dar certo. Se a tinta pede tinta e água na razão de 3 para 1 e você precisa do dobro, é só escalar mantendo a razão: 6 de tinta para 2 de água, que a mistura não estraga.

Um monte de grandeza do dia a dia é, no fundo, uma razão com nome:

E tem a razão áurea, $\Phi \approx 1{,}618$, que aparece na natureza, na arte, no design de um tanto de coisa. Quando uma proporção reaparece num canto onde você não esperava, olha só como é que a matemática é bonita.

Como caem razão e proporção no ENEM?

No ENEM, razão e proporção quase nunca vêm como conta seca. Vêm dentro de um problema pra você interpretar.

Acompanha esse, que caiu na prova de matemática do Enem 2012.

É o mesmo ferramental das seções anteriores, agora sob a pressão do enunciado. Resolver interpretando o texto, e não decorando um tipo de questão, é o que faz você acertar a próxima que a banca inventar.

Perguntas frequentes sobre razão e proporção