Escala: fórmula, exemplo resolvido e erros comuns

O que é escala?

Escala é a razão entre duas medidas: uma do desenho (ou da miniatura) e a correspondente na realidade. Serve para representar o que é grande demais ou pequeno demais para caber no papel, como uma casa, um mapa ou uma bactéria.

Quando a prova diz apenas "escala", ela fala de comprimento. "Escala de área" e "escala de volume" são a pegadinha.

A razão só faz sentido com as duas medidas na mesma unidade. Um lado de 5 m desenhado com 5 cm não está na escala 1 para 1: 5 m são 500 cm, então a escala é ${\displaystyle \frac{5}{500}}={\displaystyle \frac{1}{100}}$, ou seja, 1 para 100.

Qual é a fórmula da escala?

A escala de comprimento é a razão do desenho para o real, sempre na mesma unidade:

Para área e volume, a regra é uma só: eleve a escala de comprimento ao quadrado ou ao cubo.

E para o caminho de volta, quando o dado é a escala de área ou de volume:

Como calcular escala de comprimento, área e volume passo a passo?

O exemplo do professor: uma régua de 30 cm é desenhada com 1 cm. Qual é a escala, e por quanto ficam multiplicadas a área e o volume?

1. Comprimento: 1 cm no desenho para 30 cm na realidade, escala de 1 para 30.
2. Área: um quadrado de lado 1 cm tem 1 × 1 = 1 cm². O de lado 30 cm tem 30 × 30 = 900 cm². Escala de área: 1² para $30^2=900$, isto é, 1 para 900.
3. Volume: um cubo de aresta 1 cm tem 1 cm³. O de aresta 30 cm tem 30 × 30 × 30 = 27.000 cm³. Escala de volume: 1³ para $30^3=27.000$, isto é, 1 para 27.000.

Resultado: comprimento 1:30, área 1:900, volume 1:27.000. O desenho não mudou e a escala continua 1 para 30. O que muda é a grandeza que você compara: cada lado fica multiplicado por 30, cada área por 900 e cada volume por 27.000.

Como a escala cai no ENEM?

A questão-modelo da aula mistura escala, massa e área. Uma estátua tem massa de 1.280 toneladas e área superficial de 800 m². O artista quer uma escultura idêntica, do mesmo material, com 20 kg. Qual será a área superficial dela? (Alternativas: a) 0,0125 · b) 0,5 · c) 1,25 · d) 5 · e) 20.)

1. Massa e volume são proporcionais ($m=d\cdot V$, mesmo material, mesma densidade). A razão entre as massas é a escala de volume.
2. Mesma unidade: 1.280 t = 1.280.000 kg. Então ${\displaystyle \frac{20}{\mathrm{1.280.000}}}={\displaystyle \frac{1}{64.000}}$.
3. Escala de comprimento: $E=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{64.000}}}={\displaystyle \frac{1}{40}}$.
4. Escala de área: $E_A={\left({\displaystyle \frac{1}{40}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{1.600}}$.
5. Área da escultura: ${\displaystyle \frac{800}{1.600}}=0,5{\text{m}}^2$.

Resposta: alternativa b, 0,5 m². Resolução completa e outra questão em Revisão ENEM · Escalas, questão 02.

Quais erros mais comuns em escala?

1. 01

   Misturar unidades na razão

   Escala só vale com as duas medidas na mesma unidade: 5 m contra 5 cm não é 1 para 1.

   Como evitar: converta tudo para a mesma unidade antes de dividir.
2. 02

   Usar a escala de comprimento em áreas e volumes

   Se a escala é 1 para 30, a área não é multiplicada por 30: área pede o quadrado e volume pede o cubo.

   Como evitar: pergunte primeiro o que o enunciado pede: comprimento, área ou volume.
3. 03

   Aplicar a escala de volume direto na área

   Dar a massa e pedir a área obriga a passar pela escala de comprimento. Pular essa etapa dá resposta errada, como 1/64.000 em vez de 1/1.600.

   Como evitar: vá sempre à escala normal e dali para a que você quer. Converta toneladas em quilos antes de dividir as massas.

FAQ: escala