O que é radiciação: raízes, propriedades e exercícios

O que é radiciação?

E não, a raiz não é uma fórmula que caiu do céu. Ela nasce das regras da potência que você já conhece: é uma operação que a gente chama de radiciação extrair a raiz que é o inverso de elevar a potência. O índice diz qual raiz você quer, o radicando é o número lá dentro, e o símbolo $\sqrt{\phantom{a}}$ é o radical.

O que é índice, radicando e radical?

Todo radical tem três partes, e cada uma tem nome: o índice é o numerozinho que diz qual raiz é (2 para a quadrada, 3 para a cúbica); o radicando é o número lá dentro; e o radical é o símbolo $\sqrt{\phantom{a}}$ inteiro.

Só que decorar esses três nomes não destrava nada. O que destrava é a relação por trás deles. A elevado a $\tfrac{1}{n}$ é a mesma coisa que a raiz enésima de A, e no caso mais simples a raiz quadrada de A é o A elevado a meio. Ou seja: o índice N do radical é exatamente o denominador do expoente fracionário.

É essa ponte que faz tudo funcionar. Como a raiz é uma potência disfarçada, ela obedece às mesmíssimas regras da potência. Guarda a relação, não os rótulos.

Por que tirar raiz é elevar a 1/n?

Tirar raiz é elevar a $\tfrac{1}{n}$, e o motivo é simples. Então se a gente já construiu todo conhecimento e entendimento da potenciação, extrair raízes é fácil. É simplesmente levar um expoente fracionário.

Pensa comigo. Multiplicar uma coisa por ela própria meia vez é estar no meio do caminho no sentido da multiplicação. E é exatamente isso que a raiz quadrada faz: $a^{1/n}$ é a raiz enésima de $a$.

Sacou a diferença? Em vez de decorar que raiz vira potência fracionária, você entende por quê. E aí vem o pulo do gato: toda propriedade que vale para potência passa a valer de graça para a raiz.

Quais são as propriedades das raízes?

As propriedades das raízes não são uma lista nova para você decorar. São as mesmas regras da potência, de novo. A lógica é sempre a mesma: transforma a raiz em potência $\tfrac{1}{n}$ e a propriedade cai no seu colo. Quando tem um produto ali dentro, eu passo cada fator multiplicando. Quando tem raiz de raiz, os índices se multiplicam.

Guarda o mecanismo, que é transformar em potência $\tfrac{1}{n}$, e você reconstrói qualquer uma dessas linhas sem precisar do cartão de memória.

Como simplificar um radical passo a passo?

Para simplificar um radical, você decompõe o radicando em fatores primos e tira de dentro da raiz cada grupo de fatores iguais. A pergunta que guia tudo é: como escrever essa raiz do jeito mais simples possível? Você tira a maior quantidade de números de dentro dela.

Numa raiz quadrada, a regra é direta: precisa de dois fatores iguais lá dentro para um sair. Numa raiz cúbica, precisa de três. Vem comigo no passo a passo do $\sqrt{48}$:

Com o $\sqrt{200}$ é o mesmo caminho: $200 = 100 \cdot 2$, e o 100 sai como 10, sobrando $10\sqrt{2}$. Cada etapa aparece. Aqui não tem atalho engolido.

Como somar e subtrair radicais?

Somar radical é a mesma coisa que somar termo semelhante, igualzinho àquele $3x + 5x$ que dá $8x$. Pensa em 3 coisas mais 5 coisas: dá 8 coisas. Se a coisa é a raiz, então $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$, direto, sem mexer no que está dentro da raiz.

O pulo do gato é que às vezes as raízes só ficam semelhantes depois que você simplifica. Olha o $\sqrt{72} + \sqrt{50} - \sqrt{32}$:

Como racionalizar o denominador com raiz?

Racionalizar é tirar a raiz de baixo da fração. O objetivo é deixar a conta mais intuitiva: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ é horrível de estimar, mas $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ você faz quase de cabeça.

No caso simples, o truque é multiplicar em cima e embaixo pela mesma raiz:

Quando o denominador tem uma soma ou diferença, tipo $\sqrt{5} + 2$, você multiplica pelo conjugado, que é o mesmo denominador com o sinal trocado ($\sqrt{5} - 2$). Aí entra o produto notável $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, que varre a raiz do denominador de uma vez. Essa é a parte que quase ninguém explica direito, e é onde você sai na frente.

Raiz de número negativo existe?

Raiz de número negativo depende do índice. Essa é a resposta que resolve quase toda a confusão.

Com índice par, não existe raiz real de um radicando negativo. Nenhum número real elevado ao quadrado dá $-4$, porque todo real ao quadrado é maior ou igual a zero. Essa é a condição de existência.

Com índice ímpar, existe, e ela é negativa: $\sqrt[3]{-8} = -2$, porque $(-2)^3 = -8$.

Onde a raiz aparece na geometria?

A raiz aparece na geometria toda vez que uma medida não fecha num número redondo. O exemplo mais bonito é a diagonal de um quadrado de lado 1: pelo teorema de Pitágoras, $1^2 + 1^2 = 2$, então a diagonal é $\sqrt{2}$. Num triângulo retângulo, a hipotenusa quase sempre cai numa raiz.

Faz sentido, porque quando você fala de semelhança de figuras a razão entre as áreas é uma medida quadrática. Trabalhar com quadrados e raízes vem junto do território.

E aí bate a dúvida que trava todo mundo: quanto é a raiz quadrada de 7? Não sei de cabeça. Qual número, vezes ele mesmo, dá 7? Não é redondo. $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ e $\sqrt{7}$ são irracionais, você não calcula um valor exato. Ou deixa na forma de radical, que já é a forma exata, ou estima ($\sqrt{2} \approx 1{,}41$; $\sqrt{3} \approx 1{,}73$). Raiz feia é resposta, não é erro.

Como resolver exercícios de radiciação?

Agora treina comigo. Cada questão aqui vem resolvida passo a passo e ligada à propriedade que ela cobra, do mais tranquilo ao mais cabuloso:

1. 01

   Simplificação

   $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

2. 02

   Produto de radicais

   $\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.

3. 03

   Divisão de mesmo índice

   $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{3}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

4. 04

   Radical aninhado

   Resolve de dentro para fora, transformando cada raiz em potência.

5. 05

   Comparação de raízes

   Para saber qual é maior entre $\sqrt{2}$ e $\sqrt[3]{3}$, você precisa ter esses caras na mesma base ou com o mesmo expoente. Alguma coisa tem que ser igual para que você possa comparar a outra.

6. 06

   Questão de prova contextualizada

   O tipo que aparece no vestibular, aplicando as propriedades num problema de verdade.

E se a raiz deu feia, tudo bem: em matemática você tem que quebrar a cabeça, bater com a cara no muro e sentir que aquele caminho não era o melhor. Faz parte do jogo. Raiz feia é resposta, não é erro.

Perguntas frequentes sobre radiciação