Soma e produto das raízes: achando raízes de cabeça

O que é soma e produto das raízes?

É um atalho para resolver a equação do 2º grau $a{x}^2+bx+c=0$. Em vez de calcular o delta, você olha para os coeficientes e procura dois números cuja soma e cujo produto você já conhece. Se eles existirem entre os inteiros simples, são as raízes.

O atalho existe porque os coeficientes b e c não são aleatórios: eles carregam a soma e o produto das raízes. Quando a = 1, a função se escreve x² − Sx + P, em que S é a soma e P é o produto.

O professor da aula de função do 2º grau da Revisão ENEM garante que o resultado bate com o de Bhaskara e que o método economiza tempo. Mesmo quem não o conhecia pode adotá-lo.

Qual é a fórmula da soma e do produto das raízes?

Para a = 1 isso fica:

Cuidado com o sinal: no formato x² − Sx + P, quem aparece com sinal trocado é a soma. Por isso a função $x^2+2x-15=0$ tem soma −2, não +2.

Como calcular as raízes de cabeça, passo a passo?

O exemplo do professor: resolver $x^2-6x+8=0$.

1. Leia o termo independente: $P=8$. O produto das raízes é 8.
2. Leia o coeficiente de x: −6. A soma é o oposto disso, $S=6$.
3. Procure dois números que multiplicados dão 8 e somados dão 6.
4. Teste: 4 · 2 = 8 e 4 + 2 = 6. Servem.

Resultado:

Segundo exemplo: $x^2+2x-15=0$. O produto é −15 e o coeficiente de x é +2, então a soma é −2. Os números são 3 e −5, pois 3 · (−5) = −15 e 3 + (−5) = −2. Raízes: 3 e −5.

E por que a relação vale? Desenvolva a forma fatorada com a = 1:

É exatamente x² − Sx + P. A soma aparece com sinal trocado e o produto aparece sozinho. Essa mesma forma $a(x-r_1)(x-r_2)$ também deixa você montar a função a partir das raízes, como na questão abaixo.

Como cai no ENEM? Montando a função a partir das raízes

A questão modelo da aula dá a posição de uma partícula sob força constante: 0 m em t = 0 s, 20 m em t = 1 s e 0 m em t = 2 s. Pergunta a posição em t = 1,5 s. A média aritmética dá 10 e é a armadilha: a força constante gera movimento uniformemente variado, então a posição é função do 2º grau do tempo.

As raízes são 0 e 2, logo S(t) = a·t·(t − 2). Com S(1) = 20: a · 1 · (−1) = 20, então a = −20. A função fica:

Em t = 3/2: −20 · (3/2) · (−1/2) = 15. Resposta: 15 m, alternativa b. Veja a resolução completa na questão 1 da aula.

Quais erros mais comuns?

1. 01

   Errar o sinal da soma

   No formato x² − Sx + P, o termo que acompanha x é −S. Quem lê o coeficiente direto como soma troca o sinal das raízes.

   Como evitar: a soma é sempre o oposto do coeficiente de x (com a = 1).
2. 02

   Esquecer o coeficiente a na forma fatorada

   Escrever só (x − r₁)(x − r₂) quando a ≠ 1 dá outra função, com as mesmas raízes. Na questão, esquecer o −20 muda a resposta.

   Como evitar: depois de escrever as raízes, use um ponto conhecido para achar a.
3. 03

   Usar a média quando a relação não é linear

   Tirar a média entre 20 e 0 dá 10 em vez de 15, pois só valeria se tempo e posição fossem linearmente relacionados.

   Como evitar: antes de calcular, descubra o tipo de relação entre as grandezas.

FAQ: soma e produto das raízes