Área do setor circular: fórmula e exemplo resolvido

O que é o setor circular?

É a famosa fatia de pizza: a região do círculo limitada por dois raios e pelo arco entre eles. O que define a fatia é o ângulo de abertura no centro.

A área do setor é só uma fração da área do círculo. A fração é a mesma que o ângulo ocupa na volta completa: um setor de 60° é 60/360, ou seja, um sexto do círculo.

Qual é a fórmula da área do setor circular?

Se a volta inteira, 360°, dá a área $\pi r^2$, um ângulo $\alpha$ dá a área $A_{set}$. Multiplicando em cruz, $360A_{set}=\alpha \pi r^2$, e então:

Com $\alpha =360^{\circ }$ sobra o círculo inteiro; com 180°, metade. Em radianos troca 360° por $2\pi$: $A_{set}={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\cdot \pi r^2={\displaystyle \frac{\theta r^2}{2}}$.

Coroa circular. É a região entre duas circunferências de mesmo centro. Subtraia a área do círculo menor da do maior: $A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$.

Segmento circular. É o pedaço entre uma corda e o arco. Complete a figura com o centro e tire o triângulo dos dois raios do setor. Como os lados do triângulo são raios, a área dele é $\frac{1}{2}{R}^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$: $A_{seg}=A_{set}-A_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{\alpha }{360^{\circ }}}\pi R^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha$.

Como calcular a área do setor circular passo a passo?

Exemplo do professor: setor de ângulo 60° e raio 12 m.

1. Escreva a fração do total: $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$.
2. Escreva a área do círculo: $\pi \cdot 12^2$.
3. Multiplique, simplificando antes: 12·12 dividido por 6 vira 2·12 = 24, sem precisar de 144.

Resultado: 24π m². A unidade é a do raio ao quadrado.

O segmento segue a mesma trilha. Com 30° e raio 12 m, o setor vale $\frac{1}{12}\cdot 144\pi =12\pi$ e o triângulo vale $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }=36$. Logo $A_{seg}=12\pi -36{\text{m}}^2$. Já o pedaço de coroa de 45°, com raios 5 e 3, é 1/8 da coroa de $16\pi$, ou seja, 2π m².

Quais erros mais comuns com setor, coroa e segmento?

1. 01

   Esquecer a fração α/360

   Dar a área do círculo ou da coroa inteira quando a questão pede só um pedaço.

   Como evitar: antes de calcular, escreva qual fração do total a figura ocupa.
2. 02

   Subtrair os raios na coroa

   Fazer (R − r)² em vez de R² − r². Com R = 5 e r = 4 dá 1, quando o certo é 9π.

   Como evitar: o que se eleva ao quadrado são os raios, e a subtração é entre as áreas.
3. 03

   Esquecer o triângulo no segmento

   Ficar só com a área do setor, ou usar a fórmula do segmento sem achar o ângulo de abertura (numa semicircunferência com 30° na base, a abertura é 120°, não 30°).

   Como evitar: segmento é setor menos triângulo; ligue o centro às pontas da corda e ache o ângulo.

FAQ: área do setor circular