O que é a distância entre dois pontos?
É o comprimento do segmento que liga dois pontos do plano cartesiano, calculado só pelas coordenadas. É geometria plana escrita em coordenadas. A fórmula nasce de Pitágoras; o ponto médio, de semelhança. Veja o plano cartesiano.
Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso aqui é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube e quase 2.000 aulas gratuitas de Física e Matemática. A fórmula da distância não se decora: ela é Pitágoras com outro nome.
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
Para A = (x_A, y_A) e B = (x_B, y_B), a distância é:
| Símbolo | O que é | Unidade |
|---|---|---|
| d | Distância entre A e B (hipotenusa) | a do plano |
| Δx | Variação horizontal: x_B − x_A (um cateto) | a do plano |
| Δy | Variação vertical: y_B − y_A (o outro cateto) | a do plano |
De onde ela vem. Ligue A e B e feche um triângulo retângulo com um segmento horizontal e um vertical. Catetos: e ; a distância é a hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras, com x = Δx e y = Δy.
O irmão: o ponto médio tem as médias das coordenadas dos extremos:
É a média aritmética, que cai no meio do caminho.
Como calcular a distância entre dois pontos passo a passo?
Exemplo com as cidades da aula: BH em A = (10, 2) e Brasília em B = (6, 8).
- Calcule Δx: 6 − 10 = −4.
- Calcule Δy: 8 − 2 = 6.
- Eleve ao quadrado: (−4)² = 16 e 6² = 36.
- Some e tire a raiz: √(16 + 36) = √52.
Resultado: √52 = 2√13, cerca de 7,2.
O professor fecha o triângulo retângulo e chega à fórmula no minuto da distância.
Como a distância aparece no ENEM?
Questão modelo da aula: BH (10, 2), Brasília (6, 8), São Paulo (4, 4). Felipe vai de BH a Brasília em linha reta e, no meio do caminho, segue para São Paulo. Qual a distância restante até São Paulo? (5, 7, √5, √7, √17)
- O ponto onde ele muda de rota é o ponto médio: x_M = (10 + 6)/2 = 8 e y_M = (2 + 8)/2 = 5, logo M = (8, 5).
- Distância de M a São Paulo: Δx = 8 − 4 = 4 e Δy = 5 − 4 = 1.
Resposta: alternativa (e), √17. Veja a questão 01.
Quais erros mais comuns com a distância entre dois pontos?
- 01
Medir a partir do ponto errado
Na questão das cidades, a distância parte do ponto médio, não de BH nem de Brasília.
Como evitar: marque no enunciado de onde a distância parte, e ache o ponto médio antes. - 02
Achar que A − B e B − A dão distâncias diferentes
As diferenças só trocam de sinal, e o quadrado apaga o sinal.
Como evitar: use a ordem que preferir, igual em x e em y. - 03
Preocupar-se com o desenho em escala
O desenho é só um esboço.
Como evitar: confie nas coordenadas.
FAQ: distância entre dois pontos
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
d = √((Δx)² + (Δy)²), com Δx = x_B − x_A e Δy = y_B − y_A: Pitágoras, com Δx e Δy como catetos.
De onde vem a fórmula da distância entre dois pontos?
Do teorema de Pitágoras: fecha-se um triângulo retângulo com A e B, e a distância é a hipotenusa.
Como calcular o ponto médio de um segmento?
É a média das coordenadas dos extremos. Para A = (10, 2) e B = (6, 8), o ponto médio é (8, 5).
Preciso desenhar o plano com precisão na prova?
Não. O desenho é só um esboço; as fórmulas valem para qualquer posição dos pontos.