Probabilidade da união: a regra do ou

O que é a probabilidade da união?

É a probabilidade de acontecer um evento ou outro. Em conjuntos, é a união A ∪ B: basta o resultado estar em A, em B ou nos dois. Não precisa estar nos dois.

O cuidado está nos resultados que estão nos dois: somando P(A) com P(B), eles entram duas vezes. Por isso a regra tem um desconto. "Ou" é união; "e" é interseção.

Qual é a fórmula da probabilidade da união?

Com probabilidades, a regra é:

De onde ela vem. É a contagem da união, que desconta a interseção uma vez:

Dividindo os dois lados pelo total do espaço amostral, cada n(·) vira uma probabilidade.

Eventos mutuamente exclusivos. Se A e B não ocorrem juntos, $P(A\cap B)=0$. O desconto some e sobra P(A) + P(B). Mais em inclusão e exclusão.

Como calcular a probabilidade da união passo a passo?

O exemplo do professor está em contagem. O conjunto A tem 5 pessoas que gostam de sorvete de chocolate e o conjunto B tem 8 que gostam de morango. Quantas gostam de algum dos sabores?

1. Se os conjuntos não se tocam, não há interseção: 5 + 8 = 13.
2. Se uma pessoa gosta dos dois sabores, a soma 5 + 8 a conta duas vezes.
3. Subtraia a interseção uma vez: 5 + 8 − 1 = 12.

Resultado: 13 pessoas sem interseção; 12 com uma pessoa nos dois conjuntos. Para virar probabilidade, divida cada termo pelo total do espaço amostral.

Como a regra do ou cai no ENEM?

A aula usa uma questão difícil no modelo ENEM: uma urna tem um cartão para cada divisor de 17 640. Qual a probabilidade de sortear um número par ou não ser múltiplo de 7?

1. Fatore: 17 640 = 2³ · 3² · 5 · 7². São (3+1)(2+1)(1+1)(2+1) = 72 divisores.
2. Pares (expoente do 2 não zero): 3 · 3 · 2 · 3 = 54.
3. Não múltiplos de 7 (expoente do 7 zero): 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
4. Pares e não múltiplos de 7: 3 · 3 · 2 · 1 = 18.

O resultado é 5/6. A resolução completa está em probabilidade: aprofundamento.

Quais erros mais comuns com a probabilidade do ou?

1. 01

   Somar P(A) + P(B) sem subtrair a interseção

   Os comuns entram duas vezes e o total pode passar de 1, como no 78/72 da questão dos divisores.

   Como evitar: se A e B podem acontecer juntos, desconte.
2. 02

   Confundir "ou" com "e"

   "Ou" pede a união; "e" pede só a parte comum. Trocar um pelo outro muda a conta.

   Como evitar: leia o conectivo antes de contar.
3. 03

   Não conferir se o resultado passa de 1

   Probabilidade nunca é maior que 1. Valor acima disso indica interseção esquecida.

   Como evitar: confira o resultado no final.

FAQ: probabilidade da união