O que é um cone (sólido de revolução)

Um cone é o sólido formado por uma base circular e um ponto fora do plano dessa base, o vértice (ou ápice), ligados por uma superfície lateral. Pense na casquinha de sorvete: o círculo da boca é a base, a ponta de baixo é o vértice.

Assim como o cilindro, o cone é um sólido de revolução. Para gerá-lo, gire um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos: o cateto fixo vira a altura, o cateto que gira vira o raio da base.

A forma mais reveladora de enxergá-lo: o cone está para a pirâmide assim como o cilindro está para o prisma. Uma pirâmide tem base poligonal e converge para um vértice; o cone faz o mesmo, com a base sendo um círculo. Esse parentesco explica por que cone e pirâmide compartilham o fator 1/3 no volume.

Elementos do cone e a relação da geratriz

Em um cone, vale nomear quatro elementos: o raio (rr) da base, a altura (hh) do vértice ao plano da base, a geratriz (gg) que liga o vértice à borda da base, e o vértice.

Entre esses três comprimentos existe uma relação que é, sozinha, a chave da maioria dos exercícios. Em um cone reto, o raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, com a geratriz como hipotenusa:

A relação da geratriz
g2=r2+h2 g^2 = r^2 + h^2

Sempre que um problema der dois desses três valores, o terceiro sai por aqui. Guardar essa relação resolve metade das questões de cone.

Cone reto, oblíquo e equilátero

/01 · Reto

Vértice sobre o centro

g2=r2+h2g^2 = r^2 + h^2

O vértice está acima do centro da base, e a altura cai perpendicular. É o caso padrão, e o único em que vale a relação da geratriz.

/02 · Oblíquo

Vértice deslocado

eixo inclinado

O vértice não está sobre o centro da base; o sólido fica inclinado. Aparece menos no ensino médio.

/03 · Equilátero

Geratriz igual ao diâmetro

g=2rg = 2r

Cone reto em que a geratriz vale o dobro do raio. A secção pelo vértice é um triângulo equilátero. Recorrente em ITA e IME.

Planificação e área (base, lateral e total)

Para entender as fórmulas de área, planifique o cone, abrindo a superfície lateral no plano. Ele se separa em duas partes: a base, círculo de raio rr, e a superfície lateral, que, desenrolada, vira um setor circular de raio igual à geratriz gg.

Base e lateral
Abase=πr2Alateral=πrg A_{base} = \pi r^2 \qquad A_{lateral} = \pi r g

A área lateral é a área do setor circular de raio gg.

Área total
Atotal=πr2+πrg=πr(r+g) A_{total} = \pi r^2 + \pi r g = \pi r (r + g)

Cuidado com um par que parece igual e não é. A área lateral do cone usa a geratriz (πrg\pi r g); a do cilindro usa a altura (2πrh2\pi r h). Antes de calcular a área do cone, descubra a geratriz, se só tiver raio e altura, com g2=r2+h2g^2 = r^2 + h^2.

Volume do cone: por que é um terço do cilindro

Volume
V=13⋅Abase⋅h=13πr2h V = \dfrac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h

Quase a fórmula do cilindro (πr2h\pi r^2 h), mas com um 13\tfrac{1}{3} na frente.

De onde vem esse um terço? Tome um cone e um cilindro com a mesma base e a mesma altura. Se você enchesse o cone de água e o despejasse no cilindro, precisaria fazer isso exatamente três vezes para encher o cilindro. O cone ocupa um terço do espaço do cilindro. É o mesmo 1/3 da pirâmide, e pela mesma razão: o cone é a pirâmide de base circular. E atenção: o volume usa a altura hh, nunca a geratriz gg.

Exemplo 1. Básico: volume direto

🪖 BásicoVolume direto

Um cone tem raio 33 cm e altura 44 cm. Qual é o volume?

  1. V=13πr2h=13π⋅32⋅4=13⋅36π=12π V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \tfrac{1}{3}\cdot 36\pi = 12\pi .
  2. Com π≈3,14\pi \approx 3{,}14: V≈37,7 V \approx 37{,}7 cm³.
V=12π≈37,7 V = 12\pi \approx 37{,}7 cm³

Como r=3r = 3 e h=4h = 4, a geratriz seria g=5g = 5: o clássico triângulo 3-4-5.

Exemplo 2. Intermediário: usar a geratriz para achar a altura

🪖🪖 IntermediárioGeratriz e Pitágoras

Um cone reto tem raio 55 cm e geratriz 1313 cm. Qual é o volume?

  1. O volume precisa da altura. De g2=r2+h2 g^2 = r^2 + h^2 : h2=132−52=169−25=144 h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 , logo h=12 h = 12 cm.
  2. V=13πr2h=13π⋅25⋅12=100π V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi .
V=100π≈314 V = 100\pi \approx 314 cm³

Triângulo 5-12-13: outro caso pitagórico clássico.

Exemplo 3. Avançado: capacidade de uma casquinha (estilo ENEM)

🪖🪖🪖 AvançadoCapacidade em mililitros

Uma casquinha tem formato de cone com 33 cm de raio na boca e 1010 cm de altura. Qual a capacidade, em mililitros? (π≈3,14\pi \approx 3{,}14; 11 cm³ =1= 1 mL.)

  1. V=13πr2h=13⋅3,14⋅9⋅10=13⋅282,6=94,2 V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\cdot 3{,}14 \cdot 9 \cdot 10 = \tfrac{1}{3}\cdot 282{,}6 = 94{,}2 cm³.
  2. Como 11 cm³ =1= 1 mL: 94,2 94{,}2 cm³ =94,2= 94{,}2 mL.
≈ 94 mL

Em problemas de capacidade, fixe desde o início que 11 cm³ =1= 1 mL e 10001000 cm³ =1= 1 litro.

Bônus: os 4 erros clássicos com cone

  1. 01

    Usar a geratriz no lugar da altura no volume

    O volume é 13πr2h\tfrac{1}{3}\pi r^2 h, com a altura, não a geratriz. Só que o enunciado quase sempre entrega a geratriz, e o aluno apressado a joga direto na fórmula. Aí dá errado todas as vezes.

    Como evitar: para o volume, obtenha a altura primeiro, usando g2=r2+h2g^2 = r^2 + h^2.
  2. 02

    Esquecer o fator 1/3

    Calcular πr2h\pi r^2 h e parar dá o volume do cilindro, não do cone. O cone é um terço disso.

    Como evitar: escreva o 13\tfrac{1}{3} antes de qualquer substituição.
  3. 03

    Trocar a área lateral do cone pela do cilindro

    A lateral do cone é πrg\pi r g (geratriz); a do cilindro é 2πrh2\pi r h (altura). Misturar é comum quando se estuda os dois juntos.

    Como evitar: associe geratriz a cone e altura a cilindro.
  4. 04

    Confundir raio e diâmetro

    Se o enunciado dá o diâmetro, divida por dois antes de usar a fórmula. Como o raio entra ao quadrado, o erro se amplifica.

    Como evitar: identifique no início se o número dado é raio ou diâmetro.

Um próximo passo natural é o tronco de cone, o sólido que sobra ao cortar a ponta do cone por um plano paralelo à base (pense em um balde). Ele reaproveita tudo o que você viu aqui sobre raio, altura e geratriz.

Perguntas frequentes sobre o cone

Qual a definição de cone?

O cone é um sólido geométrico formado por uma base circular e um vértice fora do plano dessa base, ligados por uma superfície lateral. É um sólido de revolução, gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um cateto.

Qual a fórmula do volume do cone?

O volume é V=13πr2h V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h , um terço da área da base vezes a altura. Ele é exatamente um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura.

Quantos vértices tem o cone?

O cone tem um único vértice, o ápice. Como a base é um círculo e não um polígono, o cone não é um poliedro e não tem arestas no sentido usual.

Como calcular a área total do cone?

Some a área da base com a lateral: A=πr2+πrg=πr(r+g) A = \pi r^2 + \pi r g = \pi r(r + g) . Se só tiver raio e altura, ache a geratriz antes, com g2=r2+h2 g^2 = r^2 + h^2 .

O que é um cone reto?

É o cone em que o vértice está diretamente acima do centro da base, com a altura caindo perpendicular ao centro. É o único tipo em que vale g2=r2+h2 g^2 = r^2 + h^2 .

Por que o volume do cone é um terço do cilindro?

Porque um cone e um cilindro de mesma base e altura têm uma relação fixa: o cone cabe três vezes dentro do cilindro. Isso decorre do princípio de Cavalieri, o mesmo que faz a pirâmide ter um terço do volume do prisma.

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