O que é um cone (sólido de revolução)
Um cone é o sólido formado por uma base circular e um ponto fora do plano dessa base, o vértice (ou ápice), ligados por uma superfície lateral. Pense na casquinha de sorvete: o círculo da boca é a base, a ponta de baixo é o vértice.
Assim como o cilindro, o cone é um sólido de revolução. Para gerá-lo, gire um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos: o cateto fixo vira a altura, o cateto que gira vira o raio da base.
A forma mais reveladora de enxergá-lo: o cone está para a pirâmide assim como o cilindro está para o prisma. Uma pirâmide tem base poligonal e converge para um vértice; o cone faz o mesmo, com a base sendo um círculo. Esse parentesco explica por que cone e pirâmide compartilham o fator 1/3 no volume.
Elementos do cone e a relação da geratriz
Em um cone, vale nomear quatro elementos: o raio (\(r\)) da base, a altura (\(h\)) do vértice ao plano da base, a geratriz (\(g\)) que liga o vértice à borda da base, e o vértice.
Entre esses três comprimentos existe uma relação que é, sozinha, a chave da maioria dos exercícios. Em um cone reto, o raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, com a geratriz como hipotenusa:
Sempre que um problema der dois desses três valores, o terceiro sai por aqui. Guardar essa relação resolve metade das questões de cone.
Cone reto, oblíquo e equilátero
Vértice sobre o centro
\(g^2 = r^2 + h^2\)O vértice está acima do centro da base, e a altura cai perpendicular. É o caso padrão, e o único em que vale a relação da geratriz.
Vértice deslocado
eixo inclinadoO vértice não está sobre o centro da base; o sólido fica inclinado. Aparece menos no ensino médio.
Geratriz igual ao diâmetro
\(g = 2r\)Cone reto em que a geratriz vale o dobro do raio. A secção pelo vértice é um triângulo equilátero. Recorrente em ITA e IME.
Planificação e área (base, lateral e total)
Para entender as fórmulas de área, planifique o cone, abrindo a superfície lateral no plano. Ele se separa em duas partes: a base, círculo de raio \(r\), e a superfície lateral, que, desenrolada, vira um setor circular de raio igual à geratriz \(g\).
A área lateral é a área do setor circular de raio \(g\).
Cuidado com um par que parece igual e não é. A área lateral do cone usa a geratriz (\(\pi r g\)); a do cilindro usa a altura (\(2\pi r h\)). Antes de calcular a área do cone, descubra a geratriz, se só tiver raio e altura, com \(g^2 = r^2 + h^2\).
Volume do cone: por que é um terço do cilindro
Quase a fórmula do cilindro (\(\pi r^2 h\)), mas com um \(\tfrac{1}{3}\) na frente.
De onde vem esse um terço? Tome um cone e um cilindro com a mesma base e a mesma altura. Se você enchesse o cone de água e o despejasse no cilindro, precisaria fazer isso exatamente três vezes para encher o cilindro. O cone ocupa um terço do espaço do cilindro. É o mesmo 1/3 da pirâmide, e pela mesma razão: o cone é a pirâmide de base circular. E atenção: o volume usa a altura \(h\), nunca a geratriz \(g\).
Exemplo 1. Básico: volume direto
Um cone tem raio \(3\) cm e altura \(4\) cm. Qual é o volume?
- \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \tfrac{1}{3}\cdot 36\pi = 12\pi \).
- Com \(\pi \approx 3{,}14\): \( V \approx 37{,}7 \) cm³.
Como \(r = 3\) e \(h = 4\), a geratriz seria \(g = 5\): o clássico triângulo 3-4-5.
Exemplo 2. Intermediário: usar a geratriz para achar a altura
Um cone reto tem raio \(5\) cm e geratriz \(13\) cm. Qual é o volume?
- O volume precisa da altura. De \( g^2 = r^2 + h^2 \): \( h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \), logo \( h = 12 \) cm.
- \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \).
Triângulo 5-12-13: outro caso pitagórico clássico.
Exemplo 3. Avançado: capacidade de uma casquinha (estilo ENEM)
Uma casquinha tem formato de cone com \(3\) cm de raio na boca e \(10\) cm de altura. Qual a capacidade, em mililitros? (\(\pi \approx 3{,}14\); \(1\) cm³ \(= 1\) mL.)
- \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\cdot 3{,}14 \cdot 9 \cdot 10 = \tfrac{1}{3}\cdot 282{,}6 = 94{,}2 \) cm³.
- Como \(1\) cm³ \(= 1\) mL: \( 94{,}2 \) cm³ \(= 94{,}2\) mL.
Em problemas de capacidade, fixe desde o início que \(1\) cm³ \(= 1\) mL e \(1000\) cm³ \(= 1\) litro.
Bônus: os 4 erros clássicos com cone
- 01
Usar a geratriz no lugar da altura no volume
O volume é \(\tfrac{1}{3}\pi r^2 h\), com a altura, não a geratriz. Só que o enunciado quase sempre entrega a geratriz, e o aluno apressado a joga direto na fórmula. Aí dá errado todas as vezes.
Como evitar: para o volume, obtenha a altura primeiro, usando \(g^2 = r^2 + h^2\). - 02
Esquecer o fator 1/3
Calcular \(\pi r^2 h\) e parar dá o volume do cilindro, não do cone. O cone é um terço disso.
Como evitar: escreva o \(\tfrac{1}{3}\) antes de qualquer substituição. - 03
Trocar a área lateral do cone pela do cilindro
A lateral do cone é \(\pi r g\) (geratriz); a do cilindro é \(2\pi r h\) (altura). Misturar é comum quando se estuda os dois juntos.
Como evitar: associe geratriz a cone e altura a cilindro. - 04
Confundir raio e diâmetro
Se o enunciado dá o diâmetro, divida por dois antes de usar a fórmula. Como o raio entra ao quadrado, o erro se amplifica.
Como evitar: identifique no início se o número dado é raio ou diâmetro.
Um próximo passo natural é o tronco de cone, o sólido que sobra ao cortar a ponta do cone por um plano paralelo à base (pense em um balde). Ele reaproveita tudo o que você viu aqui sobre raio, altura e geratriz.
Perguntas frequentes sobre o cone
Qual a definição de cone?
O cone é um sólido geométrico formado por uma base circular e um vértice fora do plano dessa base, ligados por uma superfície lateral. É um sólido de revolução, gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um cateto.
Qual a fórmula do volume do cone?
O volume é \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \), um terço da área da base vezes a altura. Ele é exatamente um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura.
Quantos vértices tem o cone?
O cone tem um único vértice, o ápice. Como a base é um círculo e não um polígono, o cone não é um poliedro e não tem arestas no sentido usual.
Como calcular a área total do cone?
Some a área da base com a lateral: \( A = \pi r^2 + \pi r g = \pi r(r + g) \). Se só tiver raio e altura, ache a geratriz antes, com \( g^2 = r^2 + h^2 \).
O que é um cone reto?
É o cone em que o vértice está diretamente acima do centro da base, com a altura caindo perpendicular ao centro. É o único tipo em que vale \( g^2 = r^2 + h^2 \).
Por que o volume do cone é um terço do cilindro?
Porque um cone e um cilindro de mesma base e altura têm uma relação fixa: o cone cabe três vezes dentro do cilindro. Isso decorre do princípio de Cavalieri, o mesmo que faz a pirâmide ter um terço do volume do prisma.