Cone: área, volume e fórmulas (geometria espacial)

Q: Qual a fórmula do volume do cone?

O volume do cone é V = (1/3) pi r² h, ou seja, um terço da área da base vezes a altura. Ele é exatamente um terço do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura.

Q: Quantos vértices tem o cone?

O cone tem um único vértice, o ápice, onde a superfície lateral converge. Como a base é um círculo e não um polígono, o cone não é um poliedro e não tem arestas no sentido usual.

Q: Como calcular a área total do cone?

Some a área da base com a área lateral: A = pi r² + pi r g = pi r (r + g). Se o enunciado só der raio e altura, encontre a geratriz antes, com g² = r² + h².

Q: Por que o volume do cone é um terço do cilindro?

Porque um cone e um cilindro de mesma base e mesma altura têm uma relação fixa: o cone cabe três vezes dentro do cilindro. Isso decorre do princípio de Cavalieri, o mesmo que faz a pirâmide ter um terço do volume do prisma.

O que é um cone (sólido de revolução)

Um cone é o sólido formado por uma base circular e um ponto fora do plano dessa base, o vértice (ou ápice), ligados por uma superfície lateral. Pense na casquinha de sorvete: o círculo da boca é a base, a ponta de baixo é o vértice.

Assim como o cilindro, o cone é um sólido de revolução. Para gerá-lo, gire um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos: o cateto fixo vira a altura, o cateto que gira vira o raio da base.

A forma mais reveladora de enxergá-lo: o cone está para a pirâmide assim como o cilindro está para o prisma. Uma pirâmide tem base poligonal e converge para um vértice; o cone faz o mesmo, com a base sendo um círculo. Esse parentesco explica por que cone e pirâmide compartilham o fator 1/3 no volume.

Elementos do cone e a relação da geratriz

Em um cone, vale nomear quatro elementos: o raio ( $r$ ) da base, a altura ( $h$ ) do vértice ao plano da base, a geratriz ( $g$ ) que liga o vértice à borda da base, e o vértice.

Entre esses três comprimentos existe uma relação que é, sozinha, a chave da maioria dos exercícios. Em um cone reto, o raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, com a geratriz como hipotenusa:

A relação da geratriz

g^{2} = r^{2} + h^{2}

Sempre que um problema der dois desses três valores, o terceiro sai por aqui. Guardar essa relação resolve metade das questões de cone.

Cone reto, oblíquo e equilátero

/01 · Reto

Vértice sobre o centro

g^{2} = r^{2} + h^{2}

O vértice está acima do centro da base, e a altura cai perpendicular. É o caso padrão, e o único em que vale a relação da geratriz.

/02 · Oblíquo

Vértice deslocado

eixo inclinado

O vértice não está sobre o centro da base; o sólido fica inclinado. Aparece menos no ensino médio.

/03 · Equilátero

Geratriz igual ao diâmetro

g = 2 r

Cone reto em que a geratriz vale o dobro do raio. A secção pelo vértice é um triângulo equilátero. Recorrente em ITA e IME.

Planificação e área (base, lateral e total)

Para entender as fórmulas de área, planifique o cone, abrindo a superfície lateral no plano. Ele se separa em duas partes: a base, círculo de raio $r$ , e a superfície lateral, que, desenrolada, vira um setor circular de raio igual à geratriz $g$ .

Base e lateral

A_{b a s e} = π r^{2} A_{l a t e r a l} = π r g

A área lateral é a área do setor circular de raio $g$ .

Área total

A_{t o t a l} = π r^{2} + π r g = π r (r + g)

Cuidado com um par que parece igual e não é. A área lateral do cone usa a geratriz ( $π r g$ ); a do cilindro usa a altura ( $2 π r h$ ). Antes de calcular a área do cone, descubra a geratriz, se só tiver raio e altura, com $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ .

Volume do cone: por que é um terço do cilindro

Volume

V = \frac{1}{3} \cdot A_{b a s e} \cdot h = \frac{1}{3} π r^{2} h

Quase a fórmula do cilindro ( $π r^{2} h$ ), mas com um $\frac{1}{3}$ na frente.

De onde vem esse um terço? Tome um cone e um cilindro com a mesma base e a mesma altura. Se você enchesse o cone de água e o despejasse no cilindro, precisaria fazer isso exatamente três vezes para encher o cilindro. O cone ocupa um terço do espaço do cilindro. É o mesmo 1/3 da pirâmide, e pela mesma razão: o cone é a pirâmide de base circular. E atenção: o volume usa a altura $h$ , nunca a geratriz $g$ .

Exemplo 1. Básico: volume direto

🪖 BásicoVolume direto

Um cone tem raio $3$ cm e altura $4$ cm. Qual é o volume?

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 36 π = 12 π$ .
Com $π \approx 3, 14$ : $V \approx 37, 7$ cm³.

$V = 12 π \approx 37, 7$ cm³

Como $r = 3$ e $h = 4$ , a geratriz seria $g = 5$ : o clássico triângulo 3-4-5.

Exemplo 2. Intermediário: usar a geratriz para achar a altura

🪖🪖 IntermediárioGeratriz e Pitágoras

Um cone reto tem raio $5$ cm e geratriz $13$ cm. Qual é o volume?

O volume precisa da altura. De $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ : $h^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , logo $h = 12$ cm.
$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 25 \cdot 12 = 100 π$ .

$V = 100 π \approx 314$ cm³

Triângulo 5-12-13: outro caso pitagórico clássico.

Exemplo 3. Avançado: capacidade de uma casquinha (estilo ENEM)

🪖🪖🪖 AvançadoCapacidade em mililitros

Uma casquinha tem formato de cone com $3$ cm de raio na boca e $10$ cm de altura. Qual a capacidade, em mililitros? ( $π \approx 3, 14$ ; $1$ cm³ $= 1$ mL.)

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 3, 14 \cdot 9 \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot 282, 6 = 94, 2$ cm³.
Como $1$ cm³ $= 1$ mL: $94, 2$ cm³ $= 94, 2$ mL.

≈ 94 mL

Em problemas de capacidade, fixe desde o início que $1$ cm³ $= 1$ mL e $1000$ cm³ $= 1$ litro.

Bônus: os 4 erros clássicos com cone

01
Usar a geratriz no lugar da altura no volume
O volume é $\frac{1}{3} π r^{2} h$ , com a altura, não a geratriz. Só que o enunciado quase sempre entrega a geratriz, e o aluno apressado a joga direto na fórmula. Aí dá errado todas as vezes.
Como evitar: para o volume, obtenha a altura primeiro, usando $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ .
02
Esquecer o fator 1/3
Calcular $π r^{2} h$ e parar dá o volume do cilindro, não do cone. O cone é um terço disso.
Como evitar: escreva o $\frac{1}{3}$ antes de qualquer substituição.
03
Trocar a área lateral do cone pela do cilindro
A lateral do cone é $π r g$ (geratriz); a do cilindro é $2 π r h$ (altura). Misturar é comum quando se estuda os dois juntos.
Como evitar: associe geratriz a cone e altura a cilindro.
04
Confundir raio e diâmetro
Se o enunciado dá o diâmetro, divida por dois antes de usar a fórmula. Como o raio entra ao quadrado, o erro se amplifica.
Como evitar: identifique no início se o número dado é raio ou diâmetro.

Um próximo passo natural é o tronco de cone, o sólido que sobra ao cortar a ponta do cone por um plano paralelo à base (pense em um balde). Ele reaproveita tudo o que você viu aqui sobre raio, altura e geratriz.

Perguntas frequentes sobre o cone

Qual a definição de cone?

O cone é um sólido geométrico formado por uma base circular e um vértice fora do plano dessa base, ligados por uma superfície lateral. É um sólido de revolução, gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um cateto.

Qual a fórmula do volume do cone?

O volume é $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , um terço da área da base vezes a altura. Ele é exatamente um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura.

Quantos vértices tem o cone?

O cone tem um único vértice, o ápice. Como a base é um círculo e não um polígono, o cone não é um poliedro e não tem arestas no sentido usual.

Como calcular a área total do cone?

Some a área da base com a lateral: $A = π r^{2} + π r g = π r (r + g)$ . Se só tiver raio e altura, ache a geratriz antes, com $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ .

O que é um cone reto?

É o cone em que o vértice está diretamente acima do centro da base, com a altura caindo perpendicular ao centro. É o único tipo em que vale $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ .

Por que o volume do cone é um terço do cilindro?

Porque um cone e um cilindro de mesma base e altura têm uma relação fixa: o cone cabe três vezes dentro do cilindro. Isso decorre do princípio de Cavalieri, o mesmo que faz a pirâmide ter um terço do volume do prisma.

Continue aprendendo: tópicos relacionados

Cilindro: o triplo do cone

O sólido de mesma base e altura que tem três vezes o volume do cone.

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Prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera e poliedros, cada sólido no seu lugar.

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Cone: elementos, área e volume (e por que o volume é um terço do cilindro).

O que é um cone (sólido de revolução)

Elementos do cone e a relação da geratriz

Cone reto, oblíquo e equilátero

Vértice sobre o centro

Vértice deslocado

Geratriz igual ao diâmetro

Planificação e área (base, lateral e total)

Volume do cone: por que é um terço do cilindro

Exemplo 1. Básico: volume direto

Exemplo 2. Intermediário: usar a geratriz para achar a altura

Exemplo 3. Avançado: capacidade de uma casquinha (estilo ENEM)

Bônus: os 4 erros clássicos com cone

Usar a geratriz no lugar da altura no volume

Esquecer o fator 1/3

Trocar a área lateral do cone pela do cilindro

Confundir raio e diâmetro

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