Fórmula da dilatação linear: ΔL = L₀·α·ΔT, β = 2α, γ = 3α

Q: Qual é a fórmula da dilatação linear?

ΔL = L₀·α·ΔT: a variação de comprimento é o comprimento inicial vezes o coeficiente de dilatação linear vezes a variação de temperatura.

Q: Qual é a relação entre os coeficientes de dilatação?

β = 2α e γ = 3α. O coeficiente superficial é o dobro do linear e o volumétrico é o triplo, porque a área dilata em duas dimensões e o volume em três.

Q: Por que se pode desprezar o termo com α²?

Porque αΔT é muito pequeno. No alumínio, com aquecimento de 100 °C, vale 0,0023; o quadrado dele é mais de 400 vezes menor e muda o resultado em cerca de 0,03%.

Q: Qual é a unidade do coeficiente de dilatação?

O inverso da temperatura: °C⁻¹ (ou K⁻¹, equivalente para variações). Os valores típicos de sólidos ficam na ordem de 10⁻⁶ a 10⁻⁵ °C⁻¹.

Q: Como calcular a dilatação de um líquido num recipiente?

O que se vê é a dilatação aparente: γ aparente = γ do líquido − γ do recipiente, com o coeficiente do recipiente igual a 3α do material dele.

Qual é a fórmula da dilatação linear?

Para uma barra, um fio ou um trilho — um corpo em que o comprimento domina — vale a fórmula linear. Para chapas, vale a superficial; para blocos e líquidos, a volumétrica. As três têm o mesmo molde: tamanho inicial vezes coeficiente vezes variação de temperatura.

Dilatação linear

Δ L = L_{0} \cdot α \cdot Δ T

Quanto o comprimento varia: proporcional ao tamanho inicial $L_{0}$ , ao coeficiente linear $α$ e ao aquecimento $Δ T$ .

Dilatação superficial

Δ A = A_{0} \cdot β \cdot Δ T com β = 2 α

Para chapas e placas. O coeficiente superficial é o dobro do linear.

Dilatação volumétrica

Δ V = V_{0} \cdot γ \cdot Δ T com γ = 3 α

Para blocos, tanques e líquidos. O coeficiente volumétrico é o triplo do linear.

Atualizado em nov/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Experimental: nasceu de medição: a natureza tem a palavra final — a pergunta certa é "que experimento sustenta isso?" Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Sobre esta classificação: os volumes publicados do Guia cobrem Mecânica (cinemática, dinâmica, energia, gravitação e fluidos) e Matemática básica (aritmética, combinatória e probabilidade) — esta fórmula é de outra área. O selo acima aplica o mesmo critério do livro, e é da equipe do blog. Entenda os selos.

O que significa cada símbolo?

Três tamanhos, um coeficiente e uma variação de temperatura:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$Δ L$	variação do comprimento (quanto a barra cresceu)	m, cm ou mm — a mesma unidade de $L_{0}$
$L_{0}$	comprimento inicial, antes do aquecimento	m, cm ou mm
$α$	coeficiente de dilatação linear — propriedade do material	°C⁻¹ (valores típicos de sólidos: 10⁻⁶ a 10⁻⁵ °C⁻¹)
$Δ T$	variação de temperatura (final menos inicial)	°C ou K — uma variação vale o mesmo nas duas escalas
$β, γ$	coeficientes superficial e volumétrico	°C⁻¹, com $β = 2 α$ e $γ = 3 α$

De onde vem a fórmula?

A fórmula linear nasceu de medição: aquece-se barras de materiais diferentes, mede-se quanto crescem e se vê o padrão — o dobro do comprimento inicial dá o dobro de dilatação, o dobro do aquecimento também, e cada material tem o seu fator. O $α$ é justamente esse fator, medido em laboratório. Por trás está o modelo microscópico: átomos mais agitados vibram com amplitude maior e a distância média entre eles aumenta.

Já o 2 e o 3 não se medem: se deduzem. Pegue uma chapa quadrada de lado $L_{0}$ , com área $A_{0} = L_{0}^{2}$ . Aquecida em $Δ T$ , cada lado vira $L_{0} (1 + α Δ T)$ e a área nova é o quadrado disso. Expandindo, aparece o termo $α^{2} Δ T^{2}$ , que é desprezível: com alumínio ( $α = 23 \times 1 0^{- 6}$ ) e $Δ T = 100^{\circ} C$ , $α Δ T = 0, 0023$ e o quadrado dele é 0,0000053, mais de 400 vezes menor.

Para o volume, a conta é igual, com um cubo no lugar do quadrado. O 2 conta as duas dimensões que dilatam ao mesmo tempo; o 3 conta as três.

Área: o quadrado do lado dilatado

A = L_{0}^{2} (1 + α Δ T)^{2} = A_{0} (1 + 2 α Δ T + α^{2} Δ T^{2}) \approx A_{0} (1 + 2 α Δ T)

Cortando o termo em $α^{2}$ , sobra $Δ A = A_{0} \cdot 2 α \cdot Δ T$ , ou seja, $β = 2 α$ .

Volume: o cubo da aresta dilatada

V = V_{0} (1 + α Δ T)^{3} = V_{0} (1 + 3 α Δ T + 3 α^{2} Δ T^{2} + α^{3} Δ T^{3}) \approx V_{0} (1 + 3 α Δ T)

Os termos com $α^{2}$ e $α^{3}$ são centenas e milhares de vezes menores. Sobra $γ = 3 α$ .

O padrão que fica é fácil de guardar: 1 dimensão, $α$ ; 2 dimensões, $2 α$ ; 3 dimensões, $3 α$ . O coeficiente conta dimensões. No exemplo do alumínio acima, o erro de jogar fora o termo quadrático é de cerca de 0,03% — invisível em qualquer medida real.

Selos Experimental e Demonstrável — a lei linear e os valores de $α$ vêm de medição em laboratório; as relações $β = 2 α$ e $γ = 3 α$ são deduzidas dela, com a aproximação de desprezar os termos de ordem maior.

Dilatação térmica: fórmulas e a relação entre coeficientes

Quando usar (e quando não)?

Use a linear quando uma dimensão domina (trilho, fio, barra, viga); a superficial para chapas e o que importa é a área (um furo numa chapa também cresce, como se fosse do mesmo material); a volumétrica para blocos e, principalmente, líquidos — que só têm dilatação de volume. A fórmula vale para variações moderadas de temperatura, em que o $α$ pode ser tratado como constante.

Se o líquido está num recipiente, o que você enxerga é a dilatação aparente: $γ_{a p} = γ_{l \overset{ˊ}{ı} quido} - γ_{recipiente}$ . E a água é exceção: entre 0 °C e 4 °C ela contrai ao ser aquecida, então a fórmula não descreve esse trecho.

A pegadinha número 1: o enunciado pede a dilatação de área ou de volume, mas dá o coeficiente linear — e você usa $α$ direto. Converta antes: $β = 2 α$ para área e $γ = 3 α$ para volume.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê a ordem de grandeza: com $α = 23 \times 1 0^{- 6}$ e $Δ T = 60^{\circ} C$ , a fração de crescimento é $α Δ T \approx 0, 0014$ , isto é, cerca de 0,14%. Em 2 m, isso dá perto de 3 mm. Guarda isso e confere no fim:

🪖 BásicoA barra de alumínio no calor

Uma barra de alumínio tem 2,0 m de comprimento a 20 °C. Qual é a dilatação quando ela é aquecida até 80 °C? (α do alumínio = 23 × 10⁻⁶ °C⁻¹)

Variação de temperatura: $Δ T = 80 - 20 = 60^{\circ} C$ .
Substituindo: $Δ L = L_{0} \cdot α \cdot Δ T = 2, 0 \cdot 23 \times 1 0^{- 6} \cdot 60$ .
Multiplicando: $2, 0 \cdot 60 = 120$ e $120 \cdot 23 \times 1 0^{- 6} = 2760 \times 1 0^{- 6} = 2, 76 \times 1 0^{- 3} m$ .

Δ L = 2, 76 mm

— o comprimento final é 2,00276 m

Verificação: bateu com a previsão de cerca de 3 mm. E se fosse uma barra de aço ( $α = 11 \times 1 0^{- 6}$ )? A conta daria $2, 0 \cdot 11 \times 1 0^{- 6} \cdot 60 = 1, 32 mm$ — metade: o alumínio dilata cerca do dobro do aço, no mesmo comprimento e no mesmo aquecimento. E se o comprimento inicial dobrasse, a dilatação também dobraria: é proporcional.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar o coeficiente linear na área ou no volume
Se o problema pergunta a dilatação de uma chapa ou de um tanque e você aplica $α$ direto, subestima a dilatação (por um fator 2 ou 3).
Como evitar: identifique a dimensão que a pergunta cobra e converta: área pede $2 α$ ; volume pede $3 α$ .
02
Achar que o furo encolhe quando a chapa dilata
A chapa dilata em todas as direções, inclusive as bordas do furo, que se afastam. O furo cresce como se fosse feito do mesmo material da chapa.
Como evitar: trate o furo como um disco do mesmo material: onde há vazio, a dilatação acompanha a da chapa.
03
Confundir ΔL com o comprimento final
A fórmula entrega a variação do comprimento, não o comprimento final. Responder 2,76 mm quando se pede o tamanho da barra depois do aquecimento erra a grandeza.
Como evitar: termine sempre com $L = L_{0} + Δ L$ quando a pergunta pedir o comprimento final.

FAQ: perguntas sobre a dilatação linear

Qual é a fórmula da dilatação linear?

$Δ L = L_{0} \cdot α \cdot Δ T$ : a variação de comprimento é o comprimento inicial vezes o coeficiente de dilatação linear do material vezes a variação de temperatura.

Qual é a relação entre os coeficientes de dilatação?

$β = 2 α$ e $γ = 3 α$ . O coeficiente superficial é o dobro do linear e o volumétrico é o triplo, porque a área dilata em duas dimensões e o volume em três.

Por que se pode desprezar o termo com α²?

Porque $α Δ T$ é muito pequeno. No alumínio, com aquecimento de 100 °C, vale 0,0023; o quadrado dele é mais de 400 vezes menor e muda o resultado em cerca de 0,03%.

Qual é a unidade do coeficiente de dilatação?

O inverso da temperatura: °C⁻¹ (ou K⁻¹, que é equivalente para variações). Os valores típicos de sólidos ficam na ordem de 10⁻⁶ a 10⁻⁵ °C⁻¹.

Posso usar ΔT em Kelvin ou em Celsius?

Pode usar qualquer um: uma variação de 60 °C é igual a uma variação de 60 K, porque o grau tem o mesmo tamanho nas duas escalas. Não é preciso converter.

O furo da chapa aumenta ou diminui quando ela é aquecida?

Aumenta. A chapa dilata em todas as direções, e as bordas do furo se afastam entre si, como se o furo fosse um disco do mesmo material.

Como calcular a dilatação de um líquido num recipiente?

O que se vê é a dilatação aparente: $γ_{a p} = γ_{l \overset{ˊ}{ı} quido} - γ_{recipiente}$ . Use o coeficiente volumétrico do recipiente, que é $3 α$ do material dele.

Por que os trilhos e as pontes têm folgas?

Porque o material cresce no calor, e a dilatação soma ao longo do comprimento. As juntas de dilatação reservam espaço para esse crescimento sem empenar a estrutura.

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