Fórmula do campo magnético de um fio: B = μ₀i/(2πd)

Quais são as fórmulas do campo criado por corrente?

O que muda de uma fórmula para outra é só a geometria do condutor. A constante ${\mu }_0$ e a corrente $i$ aparecem nas três:

O que significa cada símbolo?

Uma constante, uma corrente e uma geometria. O cuidado está nas unidades:

De onde vem a fórmula?

Não há o que decorar de onde vem a constante. A corrente é carga em movimento, e carga em movimento cria campo magnético. A intensidade desse campo cresce com a corrente e diminui com a distância, e o ${\mu }_0$ é o fator que ajusta as unidades: ele diz o quanto o vácuo “deixa passar” de campo.

Repare no que sobra quando você troca ${\mu }_0$ pelo valor: o $2\pi$ de baixo corta com parte do $4\pi$ de cima, e a fórmula do fio vira uma conta de cabeça.

As outras duas geometrias são a mesma ideia montada de outro jeito. No centro da espira, todos os pedaços do fio estão à mesma distância $R$ do ponto e contribuem no mesmo sentido, por isso só o raio aparece. No solenoide, as espiras empilhadas reforçam o campo dentro e o resultado depende só de quantas espiras cabem em cada metro.

O valor de ${\mu }_0$ vem da medição, e as três expressões são deduzidas a partir da lei que descreve o campo criado por cada trecho de corrente. A prova não pede essa dedução: pede que você saiba qual fórmula cabe em qual geometria e que confira se o resultado tem ordem de grandeza plausível.

Selo Experimental — a constante ${\mu }_0$ é medida — e Demonstrável — as expressões de fio, espira e solenoide são deduzidas da lei do campo de corrente.

Quando usar (e quando não)?

Use $B={\mu }_{0}i\mathrm{/}(2\pi d)$ para um fio retilíneo longo, isto é, quando o ponto está bem mais perto do fio do que do fim dele. Use $B={\mu }_{0}i\mathrm{/}(2R)$ só no centro da espira, e $B={\mu }_{0}ni$ só dentro do solenoide.

Fora dessas situações a conta fica mais difícil, e a prova costuma pedir outra coisa: somar vetorialmente o campo de dois fios, ou usar o resultado como entrada para a força magnética sobre uma carga ou sobre outro fio. A direção e o sentido do campo se obtêm pela regra da mão, e a fórmula dá só o módulo.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê a ordem de grandeza: $2\times 10^{-7}$ vezes uma razão de 5 por 0,02, que é 250. Isso dá algo como $5\times 10^{-5}$ T, a escala do campo da Terra. Guarda isso e confere no fim:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Usar centímetros na distância

   A constante ${\mu }_0$ está em T·m/A, então d e R precisam estar em metros. Com 10 cm no lugar de 0,1 m, o resultado sai 100 vezes maior.

   Como evitar: converte para metros ANTES de substituir, e confere se o resultado ficou na casa dos microteslas.
2. 02

   Trocar a fórmula pela geometria errada

   Aplicar ${\mu }_{0}i\mathrm{/}(2\pi d)$ à espira, ou ${\mu }_{0}i\mathrm{/}(2R)$ fora do centro dela, dá um valor que parece razoável e está errado.

   Como evitar: antes de calcular, escreve o nome da geometria (fio, centro da espira, solenoide) e escolhe a fórmula por ele.
3. 03

   Confundir R (raio) com diâmetro, ou n com o total de espiras

   Se o enunciado dá o diâmetro da espira, o R da fórmula é a metade. No solenoide, $n$ é espiras por metro, não o total de voltas.

   Como evitar: sublinha “diâmetro” e “total de espiras” no enunciado e converte (R = d/2; n = N/L) antes de substituir.

FAQ: perguntas sobre o campo magnético de um fio