Qual é a questão 07 do ITA 2021?

Vamos resolver então a questão 7 da provinha de Física da primeira fase do ITA de 2021, uma questãozinha bem legal cujo objetivo essencialmente é a gente aplicar a aproximação binomial, uma aproximação muito recorrente para a galera que faz a prova do ITA.

O gabarito, adiantado
f=2⋅Mm⋅Δf f = 2\cdot\dfrac{M}{m}\cdot\Delta f

É a fórmula da alternativa correta (letra e). Aqui embaixo eu deduzo cada passo até chegar nela.

Atualizado em jul/2026. Sou mestre em Física Teórica pela UFMG, e o Universo Narrado já passa de 1 milhão de inscritos no YouTube. A régua aqui é uma só: entender a aproximação binomial, não decorar a resposta.

Qual é o enunciado da questão 07?

O enunciado é esse: um objeto de massa MM preso a uma mola ideal realiza uma oscilação livre de frequência ff, e em determinado instante uma segunda massa mm é fixada a ele. Verifica-se que o sistema tem sua frequência de oscilação reduzida de Δf\Delta f, muito menor.

O que a questão pede é escrever ff em função de MM, mm e Δf\Delta f.

Sendo sincero com você: no vídeo eu não leio as cinco alternativas (a)-(e) em voz alta, só cravo no fim que a certa é a e. Então aqui eu não vou inventar o texto das outras quatro, trago o que de fato resolvo e verifico, com a alternativa correta destacada e justificada linha por linha.

Os dois instantes ficam assim:

/01 · antes

Só a massa MM

ff

O objeto de massa MM oscila sozinho, preso à mola ideal, com frequência ff.

/02 · depois

MM mais a massa mm

f−Δff-\Delta f

Fixo a segunda massa mm ao objeto, e a frequência cai para f−Δff - \Delta f, uma redução bem pequena.

/03 · a pergunta

Qual é a nova frequência

De todo o sistema, a questão quer uma coisa só: escrever ff em função de MM, mm e Δf\Delta f.

O que é MHS massa-mola?

O que é um MHS? É um movimento oscilatório. Então, o cara vai e volta, vai e volta. Um movimento periódico, um movimento que se repete, beleza? No sistema massa-mola, quem puxa o objeto de volta é a força restauradora: é a força que puxa o corpo de volta à posição de equilíbrio. Ela é diretamente proporcional à distância do corpo à posição de equilíbrio.

A constante kk dessa força é sempre a constante elástica da própria mola. kk é a constante da força, aquilo para um MHS é a própria constante da mola, lei de Hooke, né?

A frequência natural do MHS
f=12πkM f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}

Vale pra qualquer corpo oscilando em MHS, é esse alicerce que sustenta toda a álgebra das próximas seções.

Força restauradora: F=−kxF = -kx. O sinal de menos só diz que a força aponta sempre de volta pro equilíbrio, nunca pra longe dele.

Eu construo essa dedução com calma, do zero, na aula MHS: massa-mola, pêndulo simples e exercícios, vale assistir se quiser a demonstração completa da força restauradora.

Por que aumentar a massa reduz a frequência?

Aumentar a massa do sistema reduz a frequência porque f=12πk/Mf = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/M}: a massa está na raiz, no denominador. Quanto mais pesado o sistema, mais devagar ele oscila.

É exatamente essa intuição que eu confirmo na resolução: eu estou aumentando ligeiramente a massa desse sistema que está oscilando. Se eu aumento um pouquinho a massa, o que eu faço? Eu diminuo um pouquinho a frequência.

Fixar a segunda massa mm ao objeto de massa MM não muda a mola nem o kk, só deixa o conjunto mais pesado, e um conjunto mais pesado balança mais devagar. Sacou a ideia?

Mais massa, menos frequência. É essa intuição, sozinha, que já garante que a resposta tem que dar uma frequência menor (f−Δff - \Delta f), nunca maior, o teste de sanidade pra toda a álgebra que vem a seguir.

Como montar a equação da nova frequência?

A nova frequência, com M+mM+m no lugar de MM, fica f′=12πk/(M+m)f' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/(M+m)}. Vou só reescrever essa raiz. Como que eu posso reescrever essa raiz? Dá pra escrever isso como a frequência velha vezes um fator: f′=f⋅(1+m/M)−1/2f' = f\cdot(1+m/M)^{-1/2}.

Só estou escrevendo como uma potência, já que a gente quer usar aproximação binomial raiz quadrada elevada a meio.

Reescrevendo a nova frequência
f′=12πkM+m f' = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}
f′=f⋅(1+mM)−1/2 f' = f\cdot\left(1+\dfrac{m}{M}\right)^{-1/2}

Isolei o fator (1+x)(1+x) elevado a um expoente, aqui, x=m/Mx = m/M e o expoente é −1/2-1/2, pronto pra virar aproximação binomial.

Esse é o pulo de organização que faz tudo destravar: em vez de brigar com uma raiz quadrada de uma soma, você isola o fator (1+x)(1+x) elevado a um expoente. A partir daqui a conta não depende mais de kk nem de MM e mm separados: só da razão m/Mm/M e do expoente −1/2-1/2. Isso já antecipa por que o resultado final vai ficar elegante.

Como aplicar a aproximação binomial aqui?

A aproximação binomial é exatamente isso: 1 mais x elevado a n aproximadamente igual a 1 mais nx, quando x é muito menor do que 1. Aqui, x=m/Mx = m/M e n=−1/2n = -1/2, os dois parâmetros que a questão 07 pede pra você identificar.

A aproximação binomial aplicada
(1+x)n≈1+nx,x≪1 (1+x)^n \approx 1+nx, \quad x \ll 1
f′≈f(1−m2M)=f−f⋅m2M f' \approx f\left(1-\dfrac{m}{2M}\right) = f - f\cdot\dfrac{m}{2M}

x=m/Mx = m/M, n=−1/2n = -1/2: o expoente cai multiplicando o xx.

Então agora a gente pode falar que isso aqui é aproximadamente [1−12⋅(m/M)]\left[1 - \tfrac12\cdot(m/M)\right]: esse expoente ele cai multiplicando o xx, 1 mais nx é aproximação. Na prática: o −1/2-1/2 desce, multiplica m/Mm/M, e o resultado é f′≈f[1−m/(2M)]=f−f⋅m/(2M)f' \approx f\left[1 - m/(2M)\right] = f - f\cdot m/(2M).

O expoente desce e multiplica. Repara o que sobrou: Δf=f−f′=f⋅m/(2M)\Delta f = f - f' = f\cdot m/(2M), a redução de frequência é, em primeira ordem, proporcional à razão entre a massa acrescentada e a massa original.

Fechou? É essa troca, raiz complicada por uma soma simples, que faz o resto da conta virar álgebra básica: dali é só isolar ff.

Qual é a malícia da questão?

A malícia da questão 07 é não assumir de cara que MM é muito maior que mm. Só que como essa redução de frequência foi muito pequena, muito menor do que ff, significa que essa massinha que eu acrescentei aqui é muito pequena, a pequenez vem de Δf\Delta f ser pequeno, um dado do próprio enunciado, não de uma suposição sobre o tamanho de mm.

Maldades aí, malícias que você tem que ter na hora de usar aproximação binomial, né, velho?

Você não precisa, e eu não assumo, que MM é muito maior que mm; deixo isso explícito logo na resolução. Δf\Delta f pequeno é a informação que autoriza o primeiro grau da aproximação; não é o contrário.

A malícia: não assuma M≫mM \gg m, a pequenez vem de Δf\Delta f. Assumir M≫mM \gg m sem essa base é aproximação sem justificativa real, mesmo que, nessa questão específica, o resultado numérico até bata. Sacou a malícia?

Qual é a alternativa correta?

A alternativa correta é a e: f=2⋅Mm⋅Δff = 2\cdot\frac{M}{m}\cdot\Delta f.

Isolar ff a partir de Δf=f⋅m/(2M)\Delta f = f\cdot m/(2M) é multiplicar dos dois lados por 2M/m2M/m. E o resultado bate com o que a resolução crava: podemos escrever assim, então beleza, essa é aqui a nossa resposta. Esse é o valor do ff, é o que ele pede, né?

Repara na elegância: o resultado não depende do kk da mola, só da razão entre as duas massas e da própria redução Δf\Delta f que o enunciado te deu de bandeja.

Testa contra a intuição da massa e frequência: quanto maior mm em relação a MM, maior o Δf\Delta f pra uma mesma ff, faz sentido.

A tabela abaixo resume as etapas dessa resolução numa tacada só, pra você revisar antes da prova sem reabrir o vídeo.

GrandezaExpressão
Frequência originalf=12πkMf = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}
Parâmetro pequenox=mMx = \dfrac{m}{M}
Aproximação binomial(1+x)−1/2≈1−x2(1+x)^{-1/2} \approx 1-\dfrac{x}{2}
Redução de frequênciaΔf=f⋅m2M\Delta f = f\cdot\dfrac{m}{2M}
Resposta final (alternativa e)f=2⋅Mm⋅Δff = 2\cdot\dfrac{M}{m}\cdot\Delta f

Essa questão do ITA 2021 é difícil?

Não é das mais difíceis: é uma questão de MHS massa-mola da 1ª fase de Física do ITA 2021, e a técnica que ela cobra aparece direto em provas militares. É bem comum a gente usar esse tipo de aproximação.

No fim das contas, é uma questãozinha simplesmente de saber qual que é a expressão para o período de um MHS e saber usar, quem domina a fórmula da frequência e a aproximação binomial mata essa questão rápido.

O que a questão 07 cobra, em uma linha: montar f=12πk/Mf = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/M}, reescrever a raiz como potência e aplicar (1+x)n≈1+nx(1+x)^n \approx 1+nx com x=m/Mx = m/M.

Se você está treinando a prova do ITA 2021 inteira como simulado, essa é só uma questão entre várias: dá pra emendar nas outras da mesma prova e treinar até a aproximação binomial virar automática.

É pra isso que eu resolvo prova antiga com você, não pra decorar a resposta de uma questão isolada, mas pra a aproximação binomial não te pegar de surpresa na próxima.

A questão mais difícil do ITA, resolvida por escrito Outra questão difícil do ITA, resolvida por escrito

É o que eu faço nas Lições de Física. Toda a Física do ensino médio, do fenômeno à fórmula, com provas-modelo de ENEM, AFA, EsPCEx e ITA/IME resolvidas passo a passo. Bora treinar o próximo desafio.
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FAQ: questão 07 do ITA 2021

Qual é a questão 07 do ITA 2021?

É uma questão de Física (MHS massa-mola) da 1ª fase do ITA 2021: um objeto de massa MM preso a uma mola ideal oscila com frequência ff e, num certo instante, uma segunda massa mm é fixada ao sistema, reduzindo a frequência de um Δf\Delta f bem pequeno. A questão pede pra escrever ff em função de MM, mm e Δf\Delta f.

Qual é o gabarito da questão 07 do ITA 2021 (1ª fase, Física)?

Alternativa e: f=2⋅Mm⋅Δff = 2\cdot\frac{M}{m}\cdot\Delta f. O resultado sai da aproximação binomial aplicada à nova frequência do sistema com a massa acrescentada, e não depende do kk da mola, só da razão entre as duas massas.

Como aplicar a aproximação binomial (1+x)n≈1+nx(1+x)^n \approx 1+nx nessa questão?

Primeiro reescreve a nova frequência como f⋅(1+m/M)−1/2f\cdot(1+m/M)^{-1/2}, é por isso que a raiz vira potência. Depois aplica a aproximação com x=m/Mx=m/M e n=−1/2n=-1/2: o expoente desce e multiplica o xx, dando f[1−m/(2M)]f[1-m/(2M)]. Dali sai Δf=f⋅m/(2M)\Delta f = f\cdot m/(2M), e isolar ff fecha a questão.

Por que não posso assumir que MM é muito maior que mm?

Porque a pequenez do parâmetro x=m/Mx=m/M não vem de uma suposição sobre o tamanho de mm, vem do próprio enunciado, que já diz que Δf\Delta f é muito menor que ff. Assumir M≫mM\gg m sem essa base é aproximação sem justificativa real, mesmo que o número dessa vez até bata.

Por que aumentar a massa do sistema reduz a frequência de oscilação?

Porque a frequência do MHS massa-mola é f=12πk/Mf = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/M}: a massa está na raiz, no denominador. Um sistema mais pesado balança mais devagar, é a mesma física por trás de qualquer mola ou pêndulo carregado com mais peso.

Essa questão do ITA 2021 é difícil?

Não é das mais pesadas, o próprio recado da aula é que é uma aproximação muito recorrente na prova do ITA, e a questão é, no fundo, só saber a expressão do período de um MHS e saber usar. Quem domina a fórmula da frequência e a aproximação binomial resolve rápido; quem tenta decorar sem entender trava.

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