Progressão Geométrica na Cinemática: o Paradoxo de Aquiles

Aquiles alcança a tartaruga?

Sim, Aquiles alcança a tartaruga.

A prova está numa ferramenta que parece não ter nada a ver com corrida: a progressão geométrica.

Você vai dividir o intervalo em infinitos pedaços, somar os infinitos pedaços e vai dar um número finito. Não é intuitivo, eu sei, mas é exatamente isso que fecha o paradoxo de Zenão: mesmo cortando a corrida em infinitos pedacinhos, o tempo total continua sendo um número que cabe no relógio.

Com 800 metros de vantagem e uma velocidade relativa de 10 metros por segundo entre os dois, esse número é 80 segundos.

A conta completa, com a dedução da fórmula e o passo a passo do encontro, vem logo abaixo.

Por que Aquiles nunca alcançaria a tartaruga?

Zenão de Eleia foi um filósofo grego, lá pelo século 4 antes de Cristo, e criou um dos argumentos mais espertos, e mais chatos de refutar, da história da filosofia.

Esse cara ele provou ou ele criou um argumento para provar que é impossível haver movimento. Parece maluquice, porque a gente se movimenta o tempo inteiro, mas o argumento dele é sofisticado o suficiente pra travar qualquer um.

A versão mais famosa usa uma corrida. Aquiles, o herói mais rápido da Grécia, aposta uma corrida com uma tartaruga. Como ela é bem mais lenta, ele dá uma vantagem generosa pra ela largar na frente.

Aí entra a estratégia do Zenão: imagina que Aquiles sempre percorre metade da distância que separa ele da tartaruga. Primeiro anda metade. Depois anda metade do que sobrou. Depois metade disso. E assim, infinitamente.

Por mais que ele fique infinitamente próximo da tartaruga, sempre vai faltar metade da distância para ele andar. Ou seja, ele nunca alcança a tartaruga, ou, se alcança, vai demorar um tempo infinito, porque são infinitos pedacinhos de distância pra percorrer.

É o mesmo problema de encontro de dois móveis de sempre, só que levado ao limite do infinito. Zenão tinha outros paradoxos famosos além desse, assista à aula curta sobre eles.

Como funciona o encontro de dois móveis?

O Movimento Retilíneo Uniforme, o MRU, é o tipo de movimento mais simples que existe: velocidade constante, sempre na mesma direção.

Então ele anda distâncias iguais em tempos iguais, beleza? É um jeito de a gente definir o movimento retilíneo uniforme. Dessa ideia sai a fórmula mais usada da cinemática: $d = v \cdot t$. Distância igual velocidade vezes tempo.

Quando dois móveis se aproximam, um saindo atrás do outro, ou os dois vindo de direções opostas, o problema clássico é achar o encontro: em que instante as posições dos dois coincidem.

O caminho mais direto é pensar em velocidade relativa: a diferença entre as duas velocidades. Divide a distância que separa os dois por essa velocidade relativa, e pronto, você já tem o tempo de encontro.

É exatamente esse ferramental, $d = v \cdot t$ mais velocidade relativa, que a corrida de Aquiles e a tartaruga usa. Só que, em vez de resolver de uma vez, dá pra construir a mesma solução passo a passo, em infinitos pedaços. É aí que a matemática entra.

Como o percurso vira uma PG?

Pega a distância que falta pra Aquiles alcançar a tartaruga e corta ela ao meio.

Se eu for picando esses deslocamentos dele todo, se eu for picando em infinitos pedaços, que primeiro anda metade da distância, sobra a outra metade. Corta essa metade ao meio de novo, sobra um quarto. De novo, sobra um oitavo. Sempre a metade do que restou no passo anterior.

Isso é o que a gente chama de uma progressão geométrica. Cada termo é um anterior multiplicado por uma razão, aqui, a razão é $\tfrac12$.

Repare que o nome não veio antes da ideia. A PG apareceu do próprio jeito de cortar o problema, o oposto de despejar uma fórmula pronta pra você decorar.

O que é uma progressão geométrica?

Formalizando o que já apareceu no percurso de Aquiles: uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo da sequência é o anterior multiplicado por um número, esse número a gente chama de razão dessa sequência.

E PG não é só sobre encolher. Funciona pro lado que cresce também. Pensa numa folha de papel: a gente dobra o tamanho da coisa, a gente multiplica por dois o tamanho da coisa. O nome dessa parada aí, velho, se chama progressão geométrica.

No caso de Aquiles, o primeiro termo é a primeira fatia do percurso, e a razão é $\tfrac12$. Mas em outras PGs, a razão pode ser qualquer número, maior ou menor que 1, encolhendo ou crescendo.

Dobrar uma folha de papel até chegar na Lua usa o mesmo princípio de Aquiles cortando a distância ao meio, só que ao contrário: em vez de encolher, ela cresce, e cresce rápido. Se você dobrar a folha 40 vezes, chega na lua, de uma folha de 1 milímetro a uma pilha de 400 mil quilômetros de altura.

Quer assistir à aula completa sobre esse tema? É essa aqui.

Como somar infinitos termos de uma PG?

A soma de infinitos termos parece impossível de calcular, só que não, quando a PG é decrescente.

Vou subdividir o intervalo em infinitas partes, mas as partes vão ficando cada vez menores. Dá para se somar, fazer a soma infinita. A condição é simples: o primeiro termo tem que ser positivo e a razão tem que estar entre zero e um. Ou seja, $0 < q < 1$.

A dedução sai de um truque de igualdade: eu posso fazer qualquer coisa de um lado da igualdade, desde que eu faça do mesmo lado da igualdade.

Construam de novo, quando você for reestudar isso aqui, construa esse raciocínio, constrói a fórmula por conta própria. Decorar a fórmula pronta é o caminho mais curto pra esquecer ela na hora da prova.

Por que a soma infinita é finita?

Ora, ora meu caro Zenão. E agora, hein? Parece que o jogo virou, não é mesmo? A sacada que dissolve o paradoxo é simples de enunciar e difícil de sacar: cortar um intervalo em infinitos pedaços e somar todos eles ainda assim resulta numa distância finita.

Não é contraditório. É só que cada pedaço encolhe rápido o suficiente pra soma não escapar pro infinito. Se cada fatia é metade da anterior, a soma nunca ultrapassa o dobro da primeira fatia, não importa quantos pedaços você some.

Curtiram isso aqui pessoal olha que genial isso aqui isso aqui no fundo agora nós vamos falar um pouquinho de matemática.

Tem uma diferença sutil escondida aqui, que é justamente o que trava tanta gente. Qual que é o lance, cara? Ele tá mexendo o quê? Com o infinitesimal. Um intervalo pode encolher pra sempre sem nunca virar zero de verdade, infinitamente pequeno não é a mesma coisa que zero. É exatamente essa diferença que faz o relógio da tartaruga continuar correndo normal, até Aquiles alcançar.

Quanto tempo Aquiles leva para alcançar?

Hora de colocar números na corrida.

Você que anda aí a 1 metro por segundo e eu ando a 11 metros por segundo, vai, eu vou te dar aí 800 metros de vantagem, é assim que a corrida é montada: tartaruga a 1 m/s, Aquiles a 11 m/s, 800 metros de vantagem inicial.

Pra fechar o encontro sem montar a soma infinita termo a termo, o atalho é a velocidade relativa: 11 menos 1, ou seja, 10 metros por segundo, a taxa com que Aquiles fecha a distância a cada segundo.

Dividindo os 800 metros de vantagem pelos 10 metros por segundo de velocidade relativa, o tempo de encontro é 80 segundos.

Dois caminhos completamente diferentes, um número só no final. É essa coincidência que fecha o paradoxo de vez: não importa como você fatiar o problema, infinitos pedaços ou uma conta direta, Aquiles alcança a tartaruga em 80 segundos.

Onde mais a soma de PG aparece?

A soma de PG infinita não é um truque isolado pra resolver corrida de grego antigo. É a mesma matemática por trás de coisas bem mais do seu dia a dia, a começar pelo seu dinheiro.

Deixa eu te contar como é que você ganha dinheiro pra isso aqui. Isso aqui é tipo juros compostos e assim, sacou? Você vai pegando um valor a cada mês, você multiplica aquilo ali por um fator e multiplica por aquele fator e a coisa vai acumulando, vai aumentando, aumentando, aumentando. Quem tem mais dinheiro fica com cada vez mais dinheiro, é a mesma lógica de uma PG crescente, só que aplicada ao seu saldo em vez de aplicada a uma folha de papel.

Fora os juros, a mesma ferramenta aparece em pelo menos mais três lugares:

O paradoxo de Zenão foi só a porta de entrada. A ferramenta serve pra muito mais.

Se quiser ver mais dessa família, aritmética e geométrica, dá uma olhada no cluster completo de progressões.

Progressão geométrica cai na prova?

Cinemática misturada com progressão geométrica cai mais em concursos militares, AFA, EsPCEx, ITA, IME, do que no ENEM isolado.

O ENEM raramente pede a soma de PG infinita de forma explícita, mas cobra bastante PG isolada (juros, sequências) e cinemática isolada (MRU, MRUV), cada uma na sua caixinha. Já ITA e IME têm histórico de misturar Física e Matemática numa questão só, o tipo de banca que gosta de fazer você modelar um problema de cinemática como uma progressão geométrica antes mesmo de resolver.

Pra quem mira ITA e IME e treina esse tipo de questão mista, o Lições de Matemática cobre exatamente esse recorte, do básico ao avançado.

Perguntas frequentes sobre progressão geométrica