Graus para radianos: fórmula, tabela e exemplo

O que é um radiano e por que ele se relaciona com os graus?

Grau e radiano medem a mesma coisa, a abertura de um ângulo, com réguas diferentes. O grau divide a circunferência em 360 partes iguais: 1° é 1/360 da volta. O radiano usa o raio como régua: o ângulo em radianos é o comprimento do arco que ele enxerga dividido pelo raio.

Com raio de 2 m, um arco de 2 m dá 1 rad, um de 4 m dá 2 rad e um de 6 m dá 3 rad. O ângulo diz quantos raios cabem no arco. Como os metros se cancelam, o radiano não tem dimensão.

Em meia circunferência cabem π raios esticados. Por isso a meia volta vale π rad, e é aqui que mora toda conversão: $$180^{\circ }=\pi \text{ rad}360^{\circ }=2\pi \text{ rad}$$

Qual é a fórmula para converter graus em radianos?

A conversão é uma regra de três com a equivalência 180° = π rad. Isolando a incógnita, saem as duas fórmulas:

Os ângulos usuais, já convertidos:

Veja onde cada um fica no ciclo trigonométrico.

Como calcular graus para radianos passo a passo?

O exemplo é o do professor na aula de arcos e ângulos: converter 30° para radianos.

1. Escreva a equivalência: π rad está para 180°.
2. Monte a proporção com a incógnita: ${\displaystyle \frac{\pi }{180^{\circ }}}={\displaystyle \frac{x}{30^{\circ }}}$.
3. Isole o x: $x={\displaystyle \frac{30\pi }{180}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}$.

Resultado: 30° = π/6 rad. No sentido contrário, o raciocínio é o mesmo: ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ rad}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\displaystyle \frac{180}{\pi }}=60^{\circ }$.

O ângulo também se calcula direto do arco. Num círculo de raio 2 m, um arco de 8 m dá $\theta ={\displaystyle \frac{8}{2}}=4\text{ rad}$. Isolando o arco, a mesma fórmula serve para o comprimento: $$\mathrm{\ell }=\theta \cdot R$$

Por exemplo, um arco de π/3 rad (60°) num círculo de raio 6 m mede $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot 6=2\pi \approx 6,28\text{ m}$.

Quais erros mais comuns na conversão de graus e radianos?

1. 01

   Tratar o radiano como medida com dimensão

   Arco e raio têm a mesma unidade, então os metros se cancelam. O resultado é um número puro, e "rad" só indica que ele é um ângulo.

   Como evitar: confira que arco e raio estão na mesma unidade e deixe só o número.
2. 02

   Decorar 180° = π sem saber o porquê

   Quem só decora erra a conversão no sentido contrário e não consegue reconstruir a fórmula na prova.

   Como evitar: lembre que em meia circunferência cabem π raios. O resto vem da regra de três.
3. 03

   Usar o ângulo em graus na fórmula do arco

   A fórmula ℓ = θ·R só vale com θ em radianos. Com 60° no lugar de π/3, o resultado sai errado por um fator enorme.

   Como evitar: converta para radianos antes de multiplicar pelo raio.

FAQ: graus para radianos