Equação: o que é, tipos e como resolver passo a passo

O que é incógnita, membro e termo?

A incógnita é o número que você ainda não conhece: o valor escondido na equação, quase sempre chamado de x.

Pega a mais simples, x mais 1 igual a 5. Eu quero isolar o x, eu quero descobrir quem é ele. É esse o jogo da equação inteira.

Agora os nomes das partes. Tudo à esquerda do sinal de igual é o primeiro membro. Tudo à direita é o segundo membro. E cada pedaço somado ou subtraído dentro de um membro é um termo. Com esses três nomes na mão, qualquer instrução de resolução, "passa pro outro membro", "junta os termos semelhantes", passa a fazer sentido, beleza?

A anatomia da equação

\underbrace{x + 1}_{\text{1º membro}} = \underbrace{5}_{\text{2º membro}}

O x é a incógnita, o número que você procura. Cada parcela somada ou subtraída dentro de um membro (o x e o 1) é um termo.

Equação, expressão ou inequação: qual a diferença?

Nem toda conta com letra é equação. Pra ser equação, precisa de duas coisas ao mesmo tempo: um sinal de igual E pelo menos uma incógnita.

Falta uma delas e já muda de figura. Sem igualdade, é só uma expressão: $2x + 3$ sozinho não é equação. Troca o igual por um sinal de maior ou menor e vira uma inequação, uma desigualdade, outra história. E uma igualdade sem incógnita, tipo $3 + 2 = 5$ , também não é equação: é uma sentença fechada, sem nada pra descobrir.

Sentença	É equação?	Por quê
$2x + 3$	Não	não tem sinal de igual, é uma expressão
$2x + 3 = 7$	Sim	tem igualdade e uma incógnita ( $x$ )
$2x + 3 > 7$	Não	é uma desigualdade, inequação
$3 + 2 = 5$	Não	tem igual, mas nenhuma incógnita, sentença fechada

Como resolver equação do 1º grau?

Resolver uma equação do 1º grau é isolar o x com uma sequência curta de movimentos. 2x igual a 3, você quer saber o valor de x, isolar ele, tem um 2 multiplicando. O que você quer fazer? O inverso de multiplicar, para que você possa anular essa multiplicação. O inverso de multiplicar é dividir. Então divide os dois lados por 2 e acabou, o x é 3 sobre 2.

Quando a equação é maior, tipo $7x + 80 = 4x - 7$ , é o mesmo raciocínio em quatro passos:

🪖 MétodoOs quatro passos, aplicados

Resolva $7x + 80 = 4x - 7$ .

Leva tudo que tem x pra um lado: $7x - 4x + 80 = -7$ .
Leva todo número puro pro outro lado: $7x - 4x = -7 - 80$ .
Simplifica cada membro, juntando os termos semelhantes: $3x = -87$ .
Isola o x, desfazendo o que multiplica: $x = \dfrac{-87}{3} = -29$ .

$x = -29$

Guarde esse $-29$ : daqui a duas seções a gente confere se ele está mesmo certo.

No fim a gente resolve um com fração, que é onde todo mundo escorrega no sinal.

🪖🪖 Com fraçãoO mesmo método, com fração e negativo

Resolva $\dfrac{x}{2} - 3 = -5$ .

Passa o $-3$ somando dos dois lados: $\dfrac{x}{2} = -5 + 3 = -2$ .
O $2$ está dividindo o x; o inverso é multiplicar. Multiplica os dois lados por $2$ : $x = -2 \cdot 2 = -4$ .

$x = -4$

Confere: $\dfrac{-4}{2} - 3 = -2 - 3 = -5$ . Bate com o lado direito.

Quando não tem solução (ou tem infinitas)?

Nem toda equação do 1º grau termina num x igual a um número. Às vezes o x some dos dois lados e sobra só uma afirmação sobre números puros, e aí tem dois finais possíveis.

Reconhecer esses dois finais te poupa de ficar procurando um x que não existe.

/01 · Identidade

Infinitas soluções

5 = 5

Sobra algo sempre verdadeiro. Qualquer x serve, porque a igualdade já vale sozinha.

/02 · Impossível

Nenhuma solução

3 = 7

Sobra algo que não pode ser verdade. Não existe x que conserte isso.

Por que passar de lado troca o sinal?

O "trocou de membro, trocou de sinal" não é um truque pra decorar. Ele sai de um princípio só: qualquer coisa que eu faça de um lado eu tenho que fazer também do outro para que a igualdade continue valendo.

É como se fosse uma balança, eu coloco uma coisa do lado e eu coloco do outro também para equilibrar. Se tirei de um prato, tenho que tirar do outro.

O que o macete esconde

7x + 80 = 4x - 7

7x + 80 \,\underbrace{-\,80}_{\text{dos dois lados}} = 4x - 7 \,\underbrace{-\,80}_{\text{dos dois lados}}

O 80 não "pula" trocando de sinal. Você subtrai 80 dos dois membros ao mesmo tempo, e a igualdade se mantém. O sinal trocado é só o atalho visual disso.

Então, quando você "passa o $80$ pra lá virando $-80$ ", o que acontece de verdade é que você subtraiu 80 dos dois membros ao mesmo tempo. O macete é só o atalho visual disso.

Entender esse princípio é o que separa quem resolve qualquer equação de quem só repete um passo que esqueceu na prova.

Como conferir se o x está certo?

Pra conferir se o x está certo, você substitui o valor que achou de volta na equação original, no lugar de cada x, e checa se os dois membros batem.

🪖 ConferindoSubstituir o x de volta

Resolvi $7x + 80 = 4x - 7$ e cheguei em $x = -29$ . Será que está certo?

Lado esquerdo: $7 \cdot (-29) + 80 = -203 + 80 = -123$ .
Lado direito: $4 \cdot (-29) - 7 = -116 - 7 = -123$ .
Os dois membros deram $-123$ : batem.

$x = -29$ confere (os dois lados valem

-123

Se os lados não batessem, o erro estaria em algum passo da resolução, não na conferência.

Digamos que você resolveu $7x + 80 = 4x - 7$ e chegou em $x = -29$ . Troca todo x por $-29$ nos dois lados. Se o lado esquerdo der o mesmo que o direito, tá certo. Se não bater, tem erro em algum passo do caminho, e você volta pra procurar.

Essa conferência leva dez segundos e quase ninguém ensina. É ela que te dá a certeza de que a resposta da prova está correta, sem depender do gabarito.

Como montar a equação a partir do problema?

Montar a equação a partir de um problema é traduzir o texto em símbolos, passo a passo. Isso tem método, não é sorte.

Primeiro você decide quem é a incógnita: o "número que eu não sei" vira x. Depois traduz cada pedaço da frase, um de cada vez:

Trecho do enunciado	Vira em matemática
o dobro de um número	$2x$
mais 5	$+5$
é igual a 17	$=17$

Junta tudo numa igualdade, $2x + 5 = 17$ , e aí sim você resolve como qualquer equação do 1º grau. Com dois ou três enunciados do ENEM montados do zero, essa passagem do texto pra conta deixa de ser o bicho-papão.

Como resolver equação do 2º grau (Bhaskara)?

Quando o x aparece elevado ao quadrado, é uma equação do 2º grau, forma $ax^2 + bx + c = 0$ , e ela pode ter até duas soluções. Ela é a irmã algébrica da função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.

A ferramenta padrão é a fórmula de Bhaskara. E o pulo do gato é o discriminante, o delta: $b^2 - 4ac$ . É o sinal dele que decide quantas raízes existem. A gente resolve um exemplo completo aplicando a fórmula passo a passo, pra você ver de onde cada número sai, em vez de só jogar na conta e torcer.

🪖🪖🪖 2º grauBhaskara passo a passo

Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Identifique os coeficientes: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .
Discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ .
Como $\Delta > 0$ , há duas raízes reais. Aplique Bhaskara: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ .
As duas raízes: $x_1 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ e $x_2 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ .

$x = 2$ ou $x = 3$

Confira somando e multiplicando as raízes: $2 + 3 = 5$ (o $-b$ ) e $2 \cdot 3 = 6$ (o $c$ ). Bate.

/01 ·

\Delta > 0

Duas raízes reais

\Delta = b^2 - 4ac

A parábola cruza o eixo x em dois pontos distintos.

/02 ·

\Delta = 0

Uma raiz só

\Delta = 0

A parábola toca o eixo x num único ponto.

/03 ·

\Delta < 0

Nenhuma raiz real

\Delta < 0

A parábola não toca o eixo x: não há solução real.

Quais são os tipos de equação?

Existe uma família inteira de equações, e o que muda de uma pra outra é só onde a incógnita está escondida.

Tipo	Forma geral	Onde o x está	Resolve com
1º grau	$ax + b = 0$	multiplicado por um número	operação inversa ( $\div$ )
2º grau	$ax^2 + bx + c = 0$	ao quadrado	Bhaskara / fatoração
Exponencial	$a^x = b$	no expoente	logaritmo
Logarítmica	$\log x = b$	dentro do log	exponenciação
Modular	$\|x\| = b$	dentro do módulo	dois casos ( $\pm$ )
Irracional	$\sqrt{x} = b$	dentro da raiz	elevar ao quadrado

Mas repara que o princípio de resolução é o mesmo em todas. Existe uma coisa muito importante na hora de resolver a equação, que é você ter a manha de fazer uma operação que anula uma outra operação para você conseguir fazer manipulações. Cada operação tem a sua inversa: soma e subtração, potência e raiz. Quando o x tá preso no expoente, você quer uma operação que é o inverso da exponenciação. E a gente tem o nome dessa operação logaritmo. Resolver é isso: desfazer, na ordem certa, o que prende o x.

É por isso que uma equação exponencial vira uma conta de logaritmo, o mesmo desfazer que você treina nas equações logarítmicas.

O que a raiz significa no gráfico?

Resolver uma equação e olhar um gráfico são a mesma coisa vista de dois ângulos.

Quando você iguala uma função a zero e acha o x, esse x é a raiz da equação. E a raiz é exatamente o ponto onde o gráfico dessa função corta o eixo x. Faz sentido: cruzar o eixo x quer dizer que ali a função vale zero, que é exatamente a condição que você resolveu.

Raiz = zero da função = onde o gráfico corta o eixo x. Resolver a equação e achar onde a curva encosta no eixo horizontal são a mesma pergunta, respondida de dois jeitos.

Por isso uma equação do 1º grau, que é uma reta, corta o eixo em um ponto. E uma do 2º grau, que é uma parábola, pode cortar em dois, um ou nenhum. São os mesmos casos do discriminante, só que agora desenhados. Essa ponte entre resolver e desenhar aparece em qualquer estudo de funções.

FAQ: dúvidas comuns sobre equação

O que é uma incógnita numa equação?

A incógnita é o número que você ainda não conhece: o valor escondido na equação, quase sempre chamado de x. Resolver a equação é justamente descobrir qual número essa incógnita representa pra igualdade ficar verdadeira.

Qual a diferença entre equação e inequação?

Equação tem sinal de igual: os dois lados valem a mesma coisa. Inequação tem um sinal de desigualdade (maior, menor, maior ou igual), então, em vez de um valor exato, ela descreve um intervalo de valores que satisfazem a condição. Mesma família, sinais diferentes.

Como sei se resolvi a equação certo?

Você substitui o valor que achou de volta na equação original, no lugar do x, e faz as contas dos dois lados. Se os dois membros derem o mesmo número, a resposta está certa. Se não baterem, tem erro no caminho. É a conferência que dá segurança sem depender do gabarito.

O que é a raiz de uma equação?

A raiz é a solução da equação: o valor da incógnita que faz a igualdade valer. No gráfico, a raiz é o ponto onde a função vale zero e corta o eixo x, por isso resolver a equação e achar onde o gráfico cruza o eixo são a mesma coisa.

"Trocou de membro, trocou de sinal" é decoreba?

Não precisa ser. Esse macete é o atalho de um princípio simples: o que você faz de um lado da equação tem que fazer do outro pra igualdade continuar valendo, como uma balança. Quando você entende a balança, o "trocou de sinal" deixa de ser regra decorada e vira consequência óbvia.

Toda equação tem solução?

Não. Às vezes o x some no meio das contas e sobra algo sempre verdadeiro, tipo $5 = 5$ , e aí a equação tem infinitas soluções. Outras vezes sobra algo impossível, tipo $3 = 7$ , e ela não tem solução nenhuma. São os casos especiais do 1º grau.

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