Equações logarítmicas: resolva qualquer tipo passo a passo

O que é uma equação logarítmica?

Uma equação logarítmica é toda equação que tem pelo menos um logaritmo com a incógnita dentro, no logaritmando, na base, ou nos dois, como em $\log_3(x+5) = 2$, e resolver uma é, no fundo, desfazer esse logaritmo com a operação inversa até libertar o $x$ e deixá-lo sozinho de um lado da igualdade.

Numa equação assim o $x$ está preso lá dentro do log. A sacada é inverter a operação até ele sair sozinho, e o logaritmo é exatamente a ferramenta que anula uma exponenciação.

E é por aqui que eu quero começar com você, porque a matemática não tem a ver com saber quanto é o log de dois terços. A matemática tem a ver com entender esses processos que a gente tá construindo juntos. É ter o traquejo, toda essa artimanha de manipular as coisas e conseguir extrair das equações um resultado que você precisa.

Nesta página a gente constrói isso do zero. Começa pelo caso mais simples, o log igualado a um número; passa pelo de logs dos dois lados; mostra por que você tem que testar cada raiz na condição de existência, que é onde quase todo mundo perde ponto; e sobe até os casos pesados de substituição e mudança de base, que caem em prova militar. Tudo em fórmula de verdade, legível, nunca queimado numa imagem.

Se você ainda quer firmar o que é o logaritmo antes de resolver equações, vale revisar o conceito na raiz primeiro:

Por que o logaritmo resolve a equação?

Existe uma coisa muito importante na hora de resolver a equação, que é você ter a manha de fazer uma operação que anula uma outra operação para você conseguir fazer manipulações.

Pensa comigo num caso bobo: $x + 1 = 5$. Se tem um sendo somado, eu vou fazer o inverso de somar, que é subtrair, para anular isso, subtraio $1$ dos dois lados e o $x$ fica livre. Tem um $2$ multiplicando? O inverso de multiplicar é dividir. Tem uma raiz quadrada? O que eu inverto da radiciação é a potenciação, então elevo ao quadrado.

Agora chega no caso que importa aqui: o $x$ está num expoente, preso por uma exponenciação. Qual é a operação que desfaz pegar um número e levar a um expoente? É o logaritmo, ele existe exatamente para ser o inverso da exponenciação.

Quando eu tiro o log dos dois lados, uma propriedade derruba o expoente para a frente como multiplicação, e aí o $x$ que estava lá em cima desce e eu consigo isolar. É essa a mágica que destrava toda equação logarítmica: você não decora um truque, você inverte a operação que prendeu a incógnita.

Caso 1: logaritmo igual a constante

O caso mais comum de equação logarítmica é o logaritmo igualado a um número: $\log_a(\text{algo}) = k$. E a saída é direta, você volta para a definição de logaritmo, que diz $\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$, e transforma a equação logarítmica numa exponencial.

Olha um exemplo: $\log_3(x+5) = 2$. Pela definição, isso quer dizer $3$ elevado a $2$ é igual a $x+5$, ou seja, $9 = x + 5$, e aí é álgebra de criança: $x = 4$. Pronto.

Repara que o que eu fiz foi só desfazer o log usando a operação inversa, elevei a base $3$ ao que estava do outro lado. E olha, nosso objetivo aqui não é resolver as três. É ficar mais inteligente, entender o que está por trás de alguns passos na matemática.

Caso 2: logs dos dois lados

Quando a equação tem um logaritmo de cada lado, na mesma base, $\log_a(m) = \log_a(n)$, você pode simplesmente cortar os logs e igualar os logaritmandos: $m = n$. Faz sentido, porque se dois logaritmos de mesma base são iguais, os números lá dentro têm que ser iguais.

Exemplo: $\log_2(2x-1) = \log_2(x+3)$ vira $2x - 1 = x + 3$, e daí $x = 4$.

Cortar log com soma do lado é o erro clássico. E, como sempre, depois de achar a raiz, volta e testa na condição de existência.

Por que verificar a condição de existência?

A condição de existência não é um detalhe chato que o professor manda conferir por garantia: ela é o que separa uma raiz de verdade de uma raiz estranha.

Pensa comigo, o logaritmo só existe para número positivo: não dá para perguntar $2$ elevado a quanto dá $-8$, porque potência de base positiva nunca vira negativa. Então, antes de existir a equação, já existe a restrição: todo logaritmando tem que ser maior que zero, e toda base maior que zero e diferente de $1$.

Quando você resolve a parte algébrica e encontra uma raiz, ela passou no teste da conta, mas a conta não sabe que aquele $x$ talvez jogue um logaritmando para o negativo, onde o log nem existe. Aí está a raiz estranha: a álgebra aceita, o logaritmo recusa.

Por isso o passo final é inegociável: pega cada raiz, substitui na equação original e confere se todo logaritmando ficou positivo. A que violar a restrição você descarta, não porque a conta errou, mas porque ela mora fora do mundo onde o logaritmo faz sentido.

Quando a equação vira 2º grau?

Tem equação logarítmica que, depois de você desfazer o log, vira uma equação do segundo grau, e é aí que muita gente trava. Acontece de dois jeitos.

Um: a incógnita aparece no logaritmando de um produto, tipo $\log_2[x(x-2)] = 3$, que vira $x(x-2) = 8$, ou seja $x^2 - 2x - 8 = 0$, e você resolve por Bhaskara achando $x = 4$ e $x = -2$.

Dois: a incógnita está na base, tipo $\log_x 9 = 2$, que pela definição vira $x^2 = 9$, dando $x = 3$ e $x = -3$.

E aqui a condição de existência faz um trabalho pesado. Em $x^2 - 2x - 8 = 0$, o $x = -2$ joga o logaritmando para negativo, então é raiz estranha e cai fora. Em $\log_x 9 = 2$, a base tem que ser positiva e diferente de $1$, então $x = -3$ é descartado e só $x = 3$ sobrevive.

Não é a conta que escolhe a raiz boa, é a restrição do logaritmo. Por isso resolver o 2º grau é só metade do serviço; a outra metade é testar cada raiz.

Substituição de variável e mudança de base

Os casos que os portais empurram para uma parte II são justamente os que caem em prova militar, e aqui eles ganham resolução completa.

O primeiro é a equação que tem o logaritmo ao quadrado, tipo $(\log x)^2 - 3\log x + 2 = 0$. O truque é enxergar que $\log x$ se repete e dar um nome a ele: chama $\log x = y$. A equação vira $y^2 - 3y + 2 = 0$, um segundo grau limpo, que por Bhaskara dá $y = 1$ e $y = 2$. Aí você volta a substituição: $\log x = 1$ significa $x = 10$, e $\log x = 2$ significa $x = 100$ (base $10$ omitida). Duas soluções, as duas com logaritmando positivo, valem.

O segundo caso pesado é quando os logaritmos estão em bases diferentes e não dá para comparar nada: você usa a mudança de base, $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, para deixar tudo na mesma base e só então resolver.

A régua não muda, você desfaz o log, isola, testa a raiz. O que muda é a manobra algébrica para chegar lá. É esse rigor de resolver até o fim, sem mandar para outra página, que separa quem mira ITA e IME.

Como o log cai no Enem?

No Enem, a equação logarítmica quase nunca chega nua, ela vem disfarçada de pH, terremoto na escala Richter, intensidade sonora em decibéis ou decaimento.

O pulo do gato é reconhecer o disfarce: sempre que o enunciado relaciona uma grandeza que cresce multiplicando (energia que dobra, concentração que cai pela metade) com uma escala que cresce somando, tem um logaritmo no meio, e montar a equação é só escrever essa relação e isolar o que a questão pede.

Foi exatamente isso na prova de 2025. A questão dava a pressão num cano como $y = 4\log[K(x+1)(x-19)]$ e pedia o maior valor de $K$ que respeitasse a condição de a pressão não passar de $10$ atm. Muita gente achou que a questão seria anulada, não foi. Essa questão não será anulada e acabou. O gabarito é letra A e eu vou te mostrar porquê: uma questão pode ser anulada por não ter gabarito ou por o enunciado estar ambíguo, mas a questão ser difícil e a maioria das pessoas terem errado não é motivo para anulação.

Era uma equação logarítmica aplicada, e quem entendeu que ali dentro tinha um log a ser invertido resolveu numa boa. A leitura certa é que você quer aumentar o K de modo que a pressão máxima não ultrapasse o valor de 10. A régua é a mesma de sempre: identifica o logaritmo escondido, monta a equação, desfaz o log, isola, e, porque é problema real, confere se a raiz faz sentido no contexto, porque pressão não pode ser negativa e concentração também não.

Eu resolvi essa questão inteira em vídeo, mostrando passo a passo por que ela não seria anulada: Não, a questão do LOG não será ANULADA! Enem 2025.

Equação logarítmica é igual à exponencial?

Equação logarítmica e equação exponencial são a mesma história contada de dois lados: numa o $x$ está no expoente, na outra ele está dentro do log, e a ponte entre as duas é justamente o logaritmo, que inverte a exponenciação.

Olha como isso aparece na prática quando você resolve uma exponencial difícil: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 3$. O $x$ está preso no expoente e não tem base comum que salve. Então está aqui, eu tinha aqui 2 terços elevado a x igual a 3, tirei o logaritmo dos dois lados.

Existe uma propriedade logaritmo que fala que esse expoente aqui cai, ou seja, o log de A elevado a X é igual a, esse X, ele cai e fica multiplicando. Com o $x$ lá embaixo virando multiplicação, é só dividir e isolar: $x = \dfrac{\log 3}{\log(2/3)}$. Pronto, resolvi uma equação exponencial usando uma equação logarítmica.

É a mesma régua: para soltar o $x$ do expoente, aplico a operação inversa da exponenciação. Entender essa ponte é o que faz você nunca mais ver os dois temas como assuntos separados que precisa decorar em caixinhas diferentes.

Quais os erros mais comuns?

A maioria dos erros em equação logarítmica não é de conta, é de pular um cuidado.

1. 01

   Cortar os logs com soma ou produto junto

   Você só pode igualar os logaritmandos quando tem só log dos dois lados; se tem $\log + \log$, junta primeiro num só.

2. 02

   Esquecer de testar a raiz na condição de existência

   Entregar uma raiz estranha como resposta é o erro que mais custa ponto, a álgebra aceita, o logaritmo recusa.

3. 03

   Confundir $\log(a \cdot b)$ com $\log a \cdot \log b$

   O log do produto é a soma dos logs, $\log a + \log b$, nunca o produto.

4. 04

   Trocar a base no caminho

   Não dá para mudar a base de um log sem usar a fórmula de mudança de base.

5. 05

   Esquecer que a base também tem restrição

   A base de um logaritmo tem que ser positiva e diferente de $1$, isso descarta raiz tanto quanto o logaritmando.

Exercícios de equações logarítmicas resolvidos

Conceito sem treino não fixa, então aqui vão equações logarítmicas reais de prova resolvidas passo a passo, de vestibular, Enem e banca militar, que é onde o tema cai pesado.

FAQ: dúvidas sobre equações logarítmicas