Raiz quadrada: o que é e como calcular passo a passo

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada de um número é o valor que, elevado ao quadrado, devolve esse número: $\sqrt{9} = 3$ porque $3^2 = 9$, e $\sqrt{144} = 12$ porque $12^2 = 144$.

No fundo, é a operação que desfaz o elevar ao quadrado. E o jeito que eu gosto de colocar é esse: se eu tenho um cara ao quadrado igual a outro cara, então é porque esse primeiro cara é a raiz quadrada do segundo.

O símbolo $\sqrt{\phantom{n}}$ é o radical; o número embaixo dele é o radicando.

E vale uma regra que não muda: a raiz quadrada de um número positivo é sempre positiva. $\sqrt{25} = 5$, nunca $-5$.

Quando o radicando é um quadrado perfeito, como 25, 49 ou 100, a raiz cai redonda num inteiro. Quando não é, ela vira um número irracional, de infinitas casas decimais que não se repetem, como $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

De onde vem o nome "raiz quadrada"?

O nome "raiz quadrada" vem direto da geometria: a raiz de um número é o lado do quadrado cuja área é esse número.

Se um quadrado tem área 9, o lado dele mede 3, e esse 3 é a raiz quadrada de 9, beleza? Área 144, lado 12.

É por isso que a palavra "quadrada" está ali, e é por isso que a raiz nasce como uma medida de comprimento. E comprimento não é negativo, guarda isso, que explica muita coisa lá na frente.

O termo vem do latim radix quadratus, "lado do quadrado". Pensa comigo: quando você compara dois quadrados semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados, a área é uma medida quadrática, cresce com o quadrado do lado.

Desfazer isso, voltar da área pro lado, é justamente tirar a raiz. Entender essa origem é o que separa decorar a regra de saber de onde ela veio.

A raiz quadrada pode ser negativa?

Não: a raiz quadrada de um número positivo é sempre positiva. A raiz é uma operação, uma função, e função devolve um valor único. Se aceitasse dois, deixava de ser função. Então $\sqrt{4} = 2$, ponto.

A confusão nasce quando isso se mistura com a equação $x^2 = 4$. Aí, sim, aparecem dois valores, $+2$ e $-2$, mas o $\pm$ surge fora do radical, ao resolver a equação, não dentro da operação raiz.

Repara na diferença: $\sqrt{4}$ é uma conta com uma resposta só; $x^2 = 4$ é uma pergunta com duas respostas.

Tem um jeito rápido de ver por que a raiz não dá negativo. Se você elevar um número ao quadrado pra conferir, o quadrado dá positivo, e a raiz quadrada de um número qualquer nunca vai ser algo negativo. Por isso o gráfico de $f(x) = \sqrt{x}$ mora inteiro em cima do zero.

Quais números têm raiz exata?

Um número tem raiz exata quando é um quadrado perfeito, o quadrado de um inteiro. Raiz de 25, raiz de 49, raiz de 100, essa aí a gente sabe, porque $5^2$, $7^2$ e $10^2$ caem redondo.

Já 20, 30 ou 50 não são quadrado de nenhum inteiro. Então a raiz deles é um número irracional, "quebrado", com infinitas casas.

Guarda os primeiros quadrados perfeitos na ponta da língua: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… Reconhecer um deles é o atalho que salva na prova sem calculadora.

E pra número grande que é quadrado perfeito, tem a fatoração em primos: você quebra o número em fatores primos e agrupa de dois em dois. $\sqrt{324} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4} = 2 \cdot 9 = 18$.

Funciona porque cada par de fatores iguais sai da raiz como um fator só. Não é truque: é a raiz desfazendo o quadrado, fator por fator.

Como calcular qualquer raiz na mão?

Pra estimar na mão a raiz de um número que não é quadrado perfeito, a ideia é trocar uma raiz que você não sabe calcular por uma que você sabe calcular.

Funciona assim: você pega o quadrado perfeito mais próximo do seu número e parte da raiz dele. Pra $\sqrt{60}$, o mais perto é 64, cuja raiz é 8. A partir daí você ajusta com uma correção simples e chega em $\sqrt{60} \approx 7{,}75$. Bem perto do valor real, sacou a ideia?

E o método é preciso, e olha, a gente não é macaco para ficar fazendo conta no braço toda hora. Dá pra acertar $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ e até $\sqrt{634} \approx 25{,}18$ na segunda casa decimal, só somando, multiplicando e dividindo.

Não é o algoritmo "das chaves" que ninguém lembra na prova. No fundo, você substitui o problema de uma raiz complicada por uma raiz exata e operações mais fundamentais, que é somar, multiplicar e dividir.

Logo abaixo eu destrincho o passo a passo de $\sqrt{60}$ e $\sqrt{17}$.

Por que a raiz de 2 é irracional?

A raiz de 2 é irracional: não dá pra escrever $\sqrt{2}$ como uma fração de dois inteiros. E a demonstração disso é uma das mais bonitas da matemática básica.

Vem comigo no raciocínio. Um número racional é um número que pode ser escrito na forma de fração, então supor que $\sqrt{2}$ é racional é supor que dá pra escrever $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$, com a fração já simplificada ao máximo.

Elevando ao quadrado, $2 = \dfrac{a^2}{b^2}$, ou seja, $a^2 = 2b^2$. Então $a^2$ é par; e se $a^2$ é par, $a$ também é. Mas aí $a = 2k$, e substituindo dá $b^2 = 2k^2$, então $b$ também é par.

Contradição: $a$ e $b$ não podiam ser os dois pares se a fração já estava simplificada. Como a suposição levou a um absurdo, raiz de 2 de fato não é racional, não tem como se escrever isso aqui como uma fração, senão vai dar pau sempre.

É por isso que a raiz de qualquer número que não seja quadrado perfeito cai fora dos racionais: infinitas casas decimais, sem padrão que se repita.

Erros mais comuns com raiz quadrada

A pegadinha nº 1 é um erro muito comum entre os alunos que é fazer um certo corte quando você tem a raiz quadrada de um negócio elevado ao quadrado: escrever $\sqrt{x^2} = x$ direto. Não é bem assim: $\sqrt{x^2} = |x|$, o módulo de $x$.

Olha o porquê: se $x = -5$, então $x^2 = 25$ e $\sqrt{25} = 5$, que é $+5$, não o $-5$ de onde você partiu. Como a raiz nunca devolve negativo, ela te dá o valor sem sinal, e é a definição do módulo de um número que surge muito naturalmente quando a gente está fazendo essa discussão.

Os outros dois que mais caem em prova:

1. 01

   $\sqrt{4} = \pm 2$?

   Não. A operação raiz tem resposta única ($2$); o $\pm$ é da equação $x^2 = 4$, não da raiz.

2. 02

   Somar dentro da raiz

   $\sqrt{9 + 16}$ não é $3 + 4 = 7$. É $\sqrt{25} = 5$: primeiro some dentro, depois tire a raiz.

Guardando esses três, você escapa das pegadinhas mais cobradas de raiz em prova.

Existe raiz quadrada de número negativo?

Nos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo. E o motivo é direto: nenhum número real, positivo ou negativo, dá um resultado negativo quando é elevado ao quadrado.

$(+3)^2 = 9$ e $(-3)^2 = 9$; não há real que ao quadrado resulte em $-9$. Por isso a calculadora acusa "erro" em $\sqrt{-9}$: dentro dos reais, ela não tem resposta.

Mas o assunto não morre no "não dá". Os matemáticos definiram um número novo, a unidade imaginária $i$, com a propriedade $i^2 = -1$, ou seja, $\sqrt{-1} = i$.

Com ele, $\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i$, e abre-se todo um sistema, os números complexos, que você reencontra mais pra frente no ensino médio e no superior, em engenharia e física.

Então a resposta honesta é: nos reais não existe; nos complexos, existe e se chama número imaginário.

Onde a raiz quadrada aparece na prática?

A raiz quadrada aparece toda vez que você precisa voltar de uma área ou de uma soma de quadrados para um comprimento.

O caso mais comum é o teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, $a^2 + b^2 = c^2$, então a hipotenusa é $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Catetos 3 e 4 dão hipotenusa $\sqrt{25} = 5$.

A diagonal de um quadrado de lado $L$ é $L\sqrt{2}$, que sai do mesmo Pitágoras.

E quando a conta cai numa raiz não exata, tipo $\sqrt{50}$, você tem duas saídas: simplificar pro radical mais limpo, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$, tirando o quadrado perfeito de dentro, ou estimar o valor, $\sqrt{50} \approx 7{,}07$, quando o enunciado pede um número.

Em geometria e física, quase sempre a forma simplificada $5\sqrt{2}$ é a resposta "certa" de prova; o valor aproximado serve pra você ter noção de tamanho.

Reconhecer a raiz nesses contextos é o que faz a operação sair do abstrato e virar ferramenta.

Perguntas frequentes sobre raiz quadrada