Quanto vale o seno de zero? sen 0° = 0, e por quê

Quanto vale o seno de zero?

O seno de zero é zero: $\sen 0^\circ = 0$. Se o ângulo é de zero graus, velho, se não tem abertura alguma, o seno vale zero, não tem o que subir na direção vertical, então dá zero mesmo.

Já que você está aqui, guarda os quatro que mais caem em prova:

Mas o que importa não é decorar esse zero. É entender de onde ele sai, porque o intuito é a gente sair daqui mais inteligente, com um entendimento mais profundo das coisas. No resto da página eu te mostro por que o triângulo retângulo não dá conta do ângulo de 0°, como o ciclo trigonométrico lê o seno como a projeção vertical do ponto, e como o mesmo raciocínio entrega a tabela dos notáveis, as tangentes de 0° e 90° e a versão em radianos.

Por que 0° não cabe no triângulo?

No triângulo retângulo, o seno de zero, não faz sentido nenhum, cara, não existe triângulo com um ângulo de 0°. Pensa comigo: um ângulo de zero graus não tem abertura alguma, então nem triângulo sobra pra medir cateto e hipotenusa.

Com o ciclo trigonométrico eu consigo estender o conceito de seno e cosseno para ângulos bizarros, os que não cabem em triângulo nenhum. É por isso que 0° e 90° parecem estranhos: eles não moram no triângulo, moram no círculo.

Por que o seno de zero dá zero?

O seno de zero dá zero porque, no ciclo trigonométrico, o seno é o tamanho da projeção vertical do ponto no eixo vertical. A projeção horizontal de um arco ou de um ângulo vai ser a medida do cosseno daquele ângulo. E a projeção do eixo vertical vai ser a medida do seno daquele ângulo.

Agora pega o ângulo de zero graus. O ponto fica lá na direita, em (1, 0). O cosseno não é o tamanho horizontal? É um. E o seno não é o tamanho vertical? Pô, o tamanho vertical é zero, eu não subi nada na direção vertical.

Poxa, o ângulo é zero graus, olha que massa: o zero não é um valor que você decora, é o que sobra quando não tem altura nenhuma pra medir. Quando você entende o seno como altura no círculo, o resultado fica óbvio, sem tabela na cabeça.

E o cosseno de 0° e de 90°?

Desse jeito, seno de zero é zero e cosseno de zero é um. E dá pra continuar girando o ponto: você pode falar agora, por exemplo, do seno de 90 se quiser. O seno de 90 é 1, e o cosseno de 90 é 0.

Faz sentido no ciclo: em 90° o ponto subiu tudo na vertical (projeção vertical máxima, então seno = 1) e não sobrou nada na horizontal (cosseno = 0). É o espelho do que acontece em 0°, com os papéis do seno e do cosseno trocados.

Um raciocínio só, e caem quatro valores no colo:

• $\sen 0^\circ = 0$
• $\cos 0^\circ = 1$
• $\sen 90^\circ = 1$
• $\cos 90^\circ = 0$

Nenhum deles decorado, todos lidos direto do ponto no círculo.

Qual é a tabela dos ângulos notáveis?

A tabela dos ângulos notáveis reúne seno, cosseno e tangente de 0°, 30°, 45°, 60° e 90° num lugar só, com 0° e 90° incluídos, que a tabela clássica costuma deixar de fora.

Repara no padrão: a coluna do seno sobe de 0 a 1, e o cosseno faz o inverso. O cosseno sempre vai ser a projeção horizontal. Ele começa valendo 1 e vai diminuindo no primeiro quadrante até zerar. E os dois ficam presos ao ciclo: o cosseno está limitado entre menos 1 e 1 e o seno está limitado entre menos 1 e 1. Não é pra decorar linha por linha: é pra enxergar o movimento que gera a tabela inteira.

Quanto vale a tangente de 0° e 90°?

A tangente vale zero quando o ângulo vale zero graus: $\tg 0^\circ = 0$. Já a tangente de 90° não existe.

Quando o ângulo está tendendo a 90 graus a tangente explode, ela vai pra infinito. E a razão é direta: $\tg\theta = \dfrac{\sen\theta}{\cos\theta}$, e em 90° o cosseno é zero. Divisão por zero não tem resultado, então $\tg 90^\circ$ é indefinida, não é "infinito" como valor, é indefinida mesmo.

Quanto é o seno de zero em radianos?

O seno de zero em radianos continua zero: como $0^\circ = 0\text{ rad}$, $\sen(0\text{ rad}) = 0$. E, pra ter à mão, $90^\circ = \tfrac{\pi}{2}\text{ rad}$, com $\sen\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

Radianos não é frescura de prova difícil: é a unidade certa pro argumento do seno. Quando a função aparece em Física e no cálculo, isso aqui vale para x em radianos, tá? Trocar de grau pra radiano é só trocar a régua que mede o ângulo, o ponto no ciclo é o mesmo, então o seno é o mesmo.

Vale guardar as duas equivalências, porque muita questão de vestibular e concurso já vem com o ângulo em radianos.

Onde o seno de zero cai na prova?

O seno de zero é o ponto por onde o gráfico da função seno passa: a curva cruza a origem, $\sen 0 = 0$.

E tem uma sacada que cai direto em prova de Física. Daqui vale uma aproximação que a gente usa muito em física, que o seno de um ângulo é aproximadamente igual àquele ângulo em radianos, quando o ângulo é pequeno.

Por isso $\sen 0 = 0$ não é um número solto: é onde a função começa. Entender esse ponto ajuda a ler o gráfico inteiro e a resolver questão de limite e de Física.

Vale a pena decorar ou entender?

Vale muito mais entender. Se você entendeu o ciclo, não precisa decorar $\sen 0^\circ$, $\cos 0^\circ$, $\sen 90^\circ$ nem $\cos 90^\circ$, você lê os quatro na hora, olhando pro ponto.

Matemática é uma atividade intelectual, cara, e não braçal. Não é fazer uma bateria de 200 exercícios, um processo mecânico até cansar. Decorar valor solto some na semana da prova; entender a projeção no ciclo fica pro resto da vida, e ainda resolve os ângulos que a tabela não tem.

"A imaginação é mais importante que o conhecimento."

, aquela frase que atribuem ao Einstein

FAQ: perguntas rápidas sobre seno de zero