Como funciona a matemática, afinal? Entenda de vez.

Afinal, como funciona a matemática?

Você já parou pra pensar o que é matemática? Como é que ela funciona, como que ela se estrutura? Essa foi a pergunta de uma inscrita do canal, a Beatriz. Ela pergunta o que permite, o que garante que a gente possa, que seja possível a gente somar duas equações, a gente comumente usa isso pra resolver sistemas lineares, e é uma estratégia algébrica muito interessante pra solucionar problemas. E a resposta pra ela, e pra você, é uma só: a matemática funciona porque parte de pouquíssimos axiomas.

É esse punhado pequeno de verdades, verdades que a gente assume sem demonstrar, e a partir delas prova tudo o resto, que sustenta a matemática inteira por lógica pura, tijolo sobre tijolo. É o mesmo método que já uso com mais de 1 milhão de inscritos no canal.

Um axioma real de Euclides resolve, ao vivo, a equação que vem a seguir. Você sai sabendo de onde vêm as regras que hoje só decora, e por que a matemática funciona como se fosse uma linguagem com gramática própria.

O que são os axiomas de verdade?

A parada é a seguinte: a matemática tem algumas coisas que se chamam axiomas, ou postulados. O que são os axiomas, o que são os postulados? São algumas verdades evidentes que não são demonstradas, as quais a gente assume pra poder, a partir delas, provar outros teoremas, e vai construindo o resto da matemática.

O exemplo que eu mais gosto de usar é um axioma de Euclides, que tá naquele livro dele, Os Elementos, um livro de 300 anos antes de Cristo, um dos maiores livros da história da matemática. Nesse livro, a gente pode encontrar dez axiomas: cinco postulados sobre geometria plana e cinco noções comuns.

Nenhum deles é demonstrado. Eles são o ponto de partida, não o resultado.

Como visualizar esse axioma na prática?

O axioma que eu mais uso no dia a dia de sala de aula é este: se eu somo coisas iguais a iguais, elas permanecem iguais.

Parece óbvio, e é mesmo, esse é o ponto. Pensa comigo: se eu tenho uma bola azul que é idêntica a uma outra bola azul, e eu passo um traço amarelo nessa bola azul pra elas continuarem sendo iguais, eu tenho que passar o mesmo traço amarelo nessa outra bola azul. As duas bolas continuam iguais porque eu fiz a mesma coisa nas duas.

O mesmo vale pra subtração, pra multiplicação. Eu tenho aqui A é igual a A, seja A o número que for. Se eu somar uma unidade de um lado da equação, pra que a igualdade se verifique, eu tenho que somar a mesma coisa do outro lado. Qualquer operação que eu aplico de um lado, preciso aplicar do outro também, senão a igualdade quebra.

Parece regra de criança de tão simples. Mas é exatamente ela que sustenta toda manipulação de equação que você já fez na vida.

Por que dá pra passar pro outro lado?

Não existe esse negócio de passar um número somando de um lado pra subtrair do outro lado, isso não existe. O que existe é esse axioma.

Pega uma equação extremamente simples, do primeiro grau, e olha como esse axioma facilita muito a vida na hora de resolver uma equação que antes era extremamente complicada, exigia muita engenhosidade: $3x - 1 = 5$. Em vez de imaginar que o −1 pula pro outro lado virando +1, o que eu faço de verdade é somar 1 nos dois lados ao mesmo tempo.

Beleza, mas a gente ainda não respondeu a pergunta da Beatriz, que é sobre somar equações. Imagina que eu tenho a equação $A = A$ e a outra equação é $1 = 1$. Se eu somar as duas, de um lado eu obtenho $A + 1$, e do outro, $A + 1$, as coisas permanecem iguais. É por isso que dá pra somar equações, pessoal: exatamente por causa desse axioma dos Elementos de Euclides, não só num número isolado, mas em duas equações inteiras.

Por que a matemática é uma linguagem?

A matemática é uma linguagem, assim como a língua portuguesa. A gente precisa entender seus códigos, como que ela é estruturada, seus axiomas.

Assim como o português tem gramática, a matemática tem os axiomas: a regra de base que diz o que dá pra fazer com os símbolos sem quebrar o sentido. Um símbolo sozinho é só vocabulário. A regra que diz o que dá pra fazer com ele é a gramática dessa língua.

Se a gente dominar bem quais são os postulados, a gente vai entender claramente por que a matemática funciona do jeito que ela funciona. Não é decoreba de símbolo. É aprender a ler e escrever numa língua com regras próprias.

Por que a escola ensina a decorar?

A escola ensina a decorar porque entrega o procedimento pronto e pula a essência que explica de onde ele vem, essa essência da matemática que, infelizmente, não é a forma como a gente estuda na escola. A gente não conhece, a gente nem sabe o que é esse tal de axioma, esse tal de postulado, mas é a essência da matemática.

É esse degrau, partir do axioma antes do procedimento, que costuma faltar.

Pra você ver como isso se aplica nas regras que já decorou, olha a tabela abaixo. Repare como as duas primeiras linhas escondem o mesmo axioma da igualdade que você já viu na seção anterior, só que disfarçado de regra decorada, sem o nome certo.

Por que tanta gente acha matemática difícil?

Matemática parece difícil porque, pra maioria de nós, ela chegou embaralhada: começou pela fórmula pronta, não pelo axioma que a explica.

É a mesma coisa que tentar decorar uma frase inteira numa língua que você nunca estudou. Dá pra repetir de cor, mas trava assim que a pergunta muda de roupa.

Não é falta de capacidade pra exatas. É que ninguém te apresentou os poucos axiomas que sustentam tudo, então cada assunto novo vira mais uma frase decorada em vez de mais uma consequência lógica das anteriores. Isso empilha rápido: alguns anos de fórmula solta, e a sensação vira "eu não sirvo pra isso".

Como aprender matemática de verdade?

Aprender matemática de verdade começa igual a como eu resolvi a equação lá em cima: primeiro o axioma, depois o procedimento, nunca o contrário.

A gente parte de axiomas e de postulados e vai descobrindo outras verdades a partir daí. Então a gente precisa dominar muito bem essa base. Na prática, isso vira três hábitos que eu ensino todo aluno a repetir:

1. Pergunte qual axioma sustenta a regra, antes de decorar o passo.
2. Refaça o exemplo com números seus, não só o que está no material.
3. Volte pra base sempre que travar num assunto novo, o buraco quase sempre mora um degrau atrás.

Nenhum desses três hábitos exige nascer com talento pra exatas. Exige só inverter a ordem que a escola te ensinou.

Pra quem quer isso organizado do zero, o Desvendando a Matemática existe exatamente pra isso: começa pelos axiomas, é o primeiro dos 9 módulos, e sobe até funções, sem pular a essência. E se quiser ver mais desse jeito de pensar, tenho quase 2.000 aulas gratuitas no canal esperando você.

Espero que esta página tenha te ajudado a compreender um pouco melhor a matemática. Essa é a única meta dela inteira: não te dar mais fórmula pra decorar, te dar o porquê.

FAQ: perguntas frequentes sobre matemática