O que é fatorial?

O fatorial de um número é só o produto dele por todos os naturais menores que ele até chegar no 1. É isso. Quando você vê 5 fatorial, você faz 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, que dá 120. E 4 fatorial é 4⋅3⋅2⋅1=244\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24. O símbolo é aquele ponto de exclamação colado no número: n!n!.

O fatorial na prática
5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120
4!=4⋅3⋅2⋅1=24 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24

E presta atenção num detalhe que salva prova: fatorial só existe para número natural. Não tem fatorial de negativo, de fração nem de decimal.

Guarda essa ideia, porque é dela que sai todo o resto desta página: por que 0!=10! = 1, como cancelar divisões de fatoriais e onde o n!n! aparece nas fórmulas de arranjo, permutação e combinação que você vai usar na prova. Aqui eu construo cada uma do zero, com exemplo, tabela e exercício de vestibular. Do jeito que eu gosto: entendendo, não decorando.

Por que 0! = 1 de verdade?

0!=10! = 1, e não é chute nem regra caída do céu.

Sei que parece maluquice. Se fatorial é multiplicar por todos os antecessores, e o zero não tem antecessor, não devia dar zero? Não.

Pensa comigo pela recursividade. Todo fatorial pode ser escrito como n!=n⋅(n−1)!n! = n\cdot(n-1)!. Aplica isso no 1: fica 1!=1⋅0!1! = 1\cdot 0!. Como 1!1! vale 1, o 0!0! é obrigado a valer 1 pra conta fechar.

E tem mais. Quando você calcula a combinação de nn elementos escolhendo os nn de uma vez (ou seja, uma única maneira de pegar tudo), a fórmula só devolve 1 se 0!=10! = 1. Ou seja: não é uma definição inventada pra te atrapalhar, é a única que mantém todas as fórmulas de combinatória de pé.

Por que isso importa: 0!=10! = 1 é a única definição que mantém a recursividade e todas as fórmulas de combinatória funcionando. Não é regra decorada, é consequência.

Que operações valem com fatorial?

Com fatorial existe uma ordem que você não pode furar: primeiro resolve cada fatorial, e só depois soma, subtrai ou multiplica. O fatorial tem prioridade sobre as operações básicas. O !! vem antes do ++, do −- e do ×\times.

É daí que sai o erro mais clássico de simulado, operar os números de dentro do fatorial antes de fatorar:

A tentação (errado)A conta certaValor real do fatorial
3!+4!=7!3! + 4! = 7!3!+4!=6+24=303! + 4! = 6 + 24 = 307!=5.0407! = 5.040
4!⋅3!=12!4!\cdot 3! = 12!4!⋅3!=24⋅6=1444!\cdot 3! = 24\cdot 6 = 14412!=479.001.60012! = 479.001.600

A regra de ouro: só some ou multiplique fatoriais depois que cada um já virou número.

Sacou a ideia? O símbolo !! gruda em um número só. Ele não distribui na soma nem vaza pro vizinho. Resolve o fatorial primeiro, sempre.

Como simplificar divisões de fatoriais

Pra simplificar uma divisão de fatoriais, o truque é um só: você expande o fatorial de cima até o de baixo aparecer, e corta os dois.

Olha no 8!/5!8!/5!. Em vez de calcular os dois fatoriais gigantes, você reescreve o de cima: 8!8! é a mesma coisa que 8⋅7⋅6⋅5!8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!. Aí o 5!5! de cima cancela com o 5!5! de baixo, e sobra a conta limpa: 8⋅7⋅6=3368\cdot 7\cdot 6 = 336.

Cancelando o 5!
8!5!=8⋅7⋅6⋅5!5!=8⋅7⋅6=336 \dfrac{8!}{5!} = \dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!} = 8\cdot 7\cdot 6 = 336

Você expande o 8!8! até aparecer o 5!5!, corta os dois e resolve o que sobra, sem calcular fatorial gigante nenhum.

A sacada é essa. Expandir o fatorial maior até bater num fatorial que já está no denominador, pra ele ir de base e cancelar. Vale pra qualquer divisão desse tipo: em 9!/(3!⋅6!)9!/(3!\cdot 6!) é a mesma jogada, você abre o 9!9! até aparecer o 6!6!, corta, e resolve o que sobra.

Você nem precisa calcular fatorial nenhum por inteiro. A mágica é cancelar antes. E é exatamente essa técnica que sustenta as fórmulas de arranjo e combinação da próxima seção.

Onde o fatorial entra na combinatória?

É aqui que o fatorial ganha vida. Ele é a espinha de três fórmulas que você usa o tempo todo em análise combinatória, e essa é, de longe, a parte que mais cai no ENEM.

/01 · Permutação

Ordenar n objetos

Pn=n!P_n = n!

Permutar nn objetos distintos dá n!n! ordens diferentes. É a permutação.

/02 · Arranjo

Ordem importa

A=n!(n−p)!A = \dfrac{n!}{(n-p)!}

Quando a ordem importa e você escolhe pp entre nn, é o arranjo.

/03 · Combinação

Ordem não importa

C=n!(n−p)! p!C = \dfrac{n!}{(n-p)!\,p!}

Quando a ordem não importa, é a combinação: o arranjo dividido por p!p! pra tirar as repetições.

Só que eu não vou te entregar essas fórmulas prontas pra você decorar e vomitar na prova. A gente constrói cada uma, pra você enxergar de onde ela veio. O arranjo sai de completar o produto com fatoriais em cima e embaixo. A permutação sai de contar de quantas maneiras você ordena nn objetos, um a um. E a combinação sai do próprio arranjo, dividido por p!p! pra tirar as repetições que a ordem estava contando a mais.

E fica esperto com um reflexo perigoso. Tem gente que ouve a palavra combinatória e já sai colocando fatorial em tudo. Cuidado: nem tudo na combinatória é fatorial.

Probabilidade: onde a combinatória vira cálculo de chances

Como resolver equações com fatorial?

Equação com fatorial assusta, mas cai na mesma técnica que você já viu: expandir e cancelar. Só que agora com o nn como incógnita.

Pega (n+1)!n!=12\dfrac{(n+1)!}{n!} = 12. Você escreve (n+1)!(n+1)! como (n+1)⋅n!(n+1)\cdot n!, corta o n!n! de cima com o de baixo, e sobra n+1=12n + 1 = 12. Ou seja, n=11n = 11. Simples assim.

🪖 Equação · isolar o nReceita: expandir, cancelar, resolver

Resolva (n+1)!n!=12\dfrac{(n+1)!}{n!} = 12.

  1. Escreva (n+1)!(n+1)! como (n+1)⋅n!(n+1)\cdot n!.
  2. Corte o n!n! de cima com o de baixo: sobra n+1=12n + 1 = 12.
  3. Logo, n=11n = 11.
n=11n = 11

Quando o denominador força mais passos, tipo (n+2)!n!=30\dfrac{(n+2)!}{n!} = 30, você expande até (n+2)⋅(n+1)⋅n!(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!, cancela o n!n! e resolve (n+2)(n+1)=30(n+2)(n+1) = 30, que dá n=4n = 4.

A jogada é sempre essa: abrir o fatorial maior até aparecer o menor, cancelar, e cair numa equação de primeiro ou segundo grau. É o tipo de questão que a AFA e o ITA adoram cobrar, e que quase nenhum site mostra resolvido passo a passo. Quem domina a simplificação, domina a equação: é a mesma base.

Por que o fatorial cresce tão rápido?

O fatorial cresce mais rápido do que qualquer potência, e dá pra sentir isso na conta. 5!5! é só 120. Mas 10!10! já é 3.628.800, e 20!20! passa de 2 quintilhões: 2,43×10182{,}43 \times 10^{18}, um número com 19 dígitos.

Por que ele dispara desse jeito? Porque cada passo multiplica por um número cada vez maior. Não é como uma potência, que multiplica sempre pela mesma base; no fatorial o multiplicador só cresce, então o resultado explode de forma super-exponencial, muito acima de uma exponencial como 2n2^n.

20!≈2,43×101820! \approx 2{,}43 \times 10^{18}, mais de 2 quintilhões, enquanto 5!5! é só 120. O fatorial pequeno já vira número gigante rapidinho.

Existe até uma fórmula que estima esse tamanho sem você calcular tudo, a aproximação de Stirling, muito usada quando o nn é grande demais pra multiplicar na mão:

n!≈2πn(ne)n n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}

Pro ENEM você não precisa decorar a Stirling. Precisa entender a ideia: fatorial pequeno já vira número gigante rapidinho, e é por isso que ele estoura na calculadora e na programação.

Tabela de fatoriais de 0! a 10!

Aqui está a tabela de referência de 0!0! a 10!10!, pra você não recalcular toda hora:

nn!
01
11
22
36
424
5120
6720
75.040
840.320
9362.880
103.628.800

Repara como o número dispara: de 5!5! pra 10!10! ele pulou de 120 pra mais de 3,6 milhões. Salva essa tabela, porque na hora de simplificar uma divisão de fatoriais ou conferir uma conta de combinatória, ter esses valores na mão economiza um tempo precioso de prova.

E olha a primeira linha, aquela que confunde todo mundo: 0!=10! = 1, exatamente do jeito que a gente deduziu lá em cima.

Como calcular fatorial na calculadora?

Digita um número na calculadora aqui embaixo e ela te devolve o fatorial na hora, já com o passo a passo do produto, sem você multiplicar tudo na mão.

Calculadora de fatorial

Por baixo dos panos, é a mesma ideia recursiva que se usa em programação: n!=n⋅(n−1)!n! = n\cdot(n-1)!. Ou seja, o fatorial de um número é ele multiplicado pelo fatorial do anterior, e isso vai descendo até bater em 0!=10! = 1, que é onde a conta para. É assim que um computador calcula 50!50! num piscar de olhos.

E é também por isso que ele estoura rápido: como o número explode (você viu na seção do crescimento), fatoriais grandes viram valores enormes em pouquíssimos passos.

A tabela aqui embaixo mostra esse método aplicado passo a passo pros primeiros valores, pra você ver a recursão acontecendo:

nPasso recursivon!
0caso base1
11×0!=1×11\times 0! = 1\times 11
22×1!=2×12\times 1! = 2\times 12
33×2!=3×23\times 2! = 3\times 26
44×3!=4×64\times 3! = 4\times 624
55×4!=5×245\times 4! = 5\times 24120
66×5!=6×1206\times 5! = 6\times 120720
Sequência de Fibonacci: a recursão na prática

Fatorial em questões de ENEM e vestibular

O fatorial quase nunca cai sozinho na prova. Ele aparece dentro da simplificação de arranjos e permutações. Deixa eu te mostrar com duas questões que são a cara do ENEM.

🪖🪖 ENEM · ArranjoAs poltronas

Uma família de 7 pessoas precisa se sentar em 9 assentos disponíveis, e a ordem importa. De quantos jeitos?

  1. Ordem importa e você escolhe 7 entre 9: é um arranjo de 9 escolhe 7, 9!(9−7)!=9!2!\dfrac{9!}{(9-7)!} = \dfrac{9!}{2!}.
  2. Você simplifica cancelando o 2!2! e resolve, sem calcular fatorial gigante nenhum.
🪖🪖🪖 ENEM · Permutação com repetiçãoOs anagramas de "matemática"

Quantos anagramas tem a palavra "matemática"?

  1. São 10 letras, então você começa com 10!10! em cima.
  2. Divida pelos fatoriais das letras que repetem: os dois M, os três A e os dois T. É a permutação com repetição.

Repara numa coisa: as duas questões são a mesma técnica de simplificar fatorial que você já treinou nas seções anteriores. Prova não costuma pedir truque novo, ela pede a base bem sabida. Quem entendeu o fatorial de verdade resolve as duas no automático.

FAQ sobre o fatorial

Como se calcula o fatorial de um número?

Fatorial é o produto do número por todos os naturais menores que ele até o 1. Então 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120 e 4!=4⋅3⋅2⋅1=244! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24. Só existe fatorial de número natural, nada de negativo, fração ou decimal.

Por que 0! é igual a 1?

Não é chute. Pela recursividade n!=n⋅(n−1)!n! = n\cdot(n-1)!, pra que 1!=1⋅0!1! = 1\cdot 0! continue valendo, o 0!0! tem que ser 1. É a única definição que mantém as fórmulas de combinatória de pé, inclusive a de escolher nn entre nn, que só dá 1 se 0!=10! = 1.

Posso somar fatoriais, tipo 3! + 4! = 7!?

Não, e essa é a pegadinha clássica. O fatorial vem antes da soma: você calcula cada um primeiro. 3!+4!=6+24=303! + 4! = 6 + 24 = 30, enquanto 7!=5.0407! = 5.040. Só some ou multiplique fatoriais depois que cada um virou número.

Como simplificar uma divisão de fatoriais, tipo 8!/5!?

Expande o fatorial maior até aparecer o menor e cancela. 8!=8⋅7⋅6⋅5!8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!, então 8!/5!=8⋅7⋅6=3368!/5! = 8\cdot 7\cdot 6 = 336. Você nem precisa calcular os dois fatoriais inteiros, corta antes.

Onde o fatorial é usado na análise combinatória?

Em três fórmulas: permutação (Pn=n!)(P_n = n!), arranjo (n!(n−p)!)\left(\dfrac{n!}{(n-p)!}\right) e combinação (n!(n−p)! p!)\left(\dfrac{n!}{(n-p)!\,p!}\right). Mas cuidado: nem tudo na combinatória é fatorial, não saia jogando !! em tudo.

Existe fatorial de número negativo ou decimal?

Pela definição escolar, não: fatorial só vale pra número natural. Existe uma extensão avançada, a função gama, que dá sentido a fatorial de outros números, mas isso está bem além do que o ENEM e o vestibular cobram.

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