O desafio de cinemática do IME 2016, resolvido por escrito

Qual é o desafio de cinemática do IME?

Essa é a questão do IME 2016, a mais cobrada de mudança de referencial em provas militares. Dois observadores, não um, não três, mas dois, em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano, um mosquito. E a pergunta que fica é: como o observador 1 descreveria o movimento do observador 2?

O caminho para chegar lá tem dois passos. Primeiro, mudar de referencial: escrever o movimento do observador 2 do ponto de vista de quem deixa o observador 1 parado. Depois, eliminar o tempo com a identidade $\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1$.

O que a questão do IME pede?

A questão pede uma coisa só: como é que o observador 1 vai descrever o movimento do observador 2.

O enunciado é esse. O observador 1, que eu desenho de azul, considera estar no centro do próprio sistema de coordenadas e vê a partícula, um mosquito, na posição $x_1 = 3\cos t$ e $y_1 = 4\operatorname{sen} t$. O observador 2, de vermelho, equaciona o movimento do mesmo mosquito por $x_2 = 5\cos t$ e $y_2 = 5\operatorname{sen} t$, com $t$ o tempo.

Repara na sacada que o próprio enunciado entrega: se eles observam movimentos distintos dessa partícula, é porque os observadores se movem um em relação ao outro. É essa diferença que a questão quer que você traduza em equação.

O que é mudar de referencial?

Mudar de referencial é reescrever o movimento do ponto de vista de quem você escolhe deixar parado.

Antes de subtrair qualquer coordenada, pensa comigo no que é um referencial. Estar no referencial da árvore é estar no referencial no qual a árvore está parada, e na verdade ninguém se move em relação a si mesmo.

Aí entra a sacada que eu aprendi com o Galileu: a definição que o Galileu dá o repouso é o movimento compartilhado. E movimento compartilhado ninguém percebe, dois carros na estrada a 100 km/h, lado a lado, se enxergam parados um em relação ao outro. É o mesmo motivo de você não sentir a Terra girar: como é que a Terra anda a 100 mil km por hora e ninguém percebe isso? Porque todo mundo compartilha do mesmo movimento.

Eu construo essa ideia com calma no vídeo Como fazer uma mudança de referencial, com os carros na estrada e a árvore parada, vale assistir antes de seguir pro próximo passo.

Como o observador 1 vê o 2?

O observador 1 enxerga o movimento do 2 subtraindo vetores: a posição de 2 em relação a 1 é $R_{21} = R_1 - R_2$.

Vou dar nome aos vetores. $R_1$ é o vetor posição do mosquito em relação ao referencial 1; $R_2$ é o vetor posição do mosquito em relação ao referencial 2. Para sair da origem 1 e chegar no mosquito, você pode passar pela origem 2, então $R_1$ é a soma do vetor que liga as duas origens (esse é o $R_{21}$) com o $R_2$. É a regra do polígono, um trianglinho de vetores.

Repara bem numa coisa: $R_{21}$ não é a trajetória do mosquito. É como a origem do referencial 2 se desloca, vista do referencial azul. Esse é o pulo do gato que nenhuma página escreve.

Como montar as coordenadas relativas?

Com $R_{21} = R_1 - R_2$ na mão, agora é braço: subtrai coordenada por coordenada.

Na horizontal, $x_{21} = x_1 - x_2 = 3\cos t - 5\cos t$, que dá $-2\cos t$. Na vertical, subtraia as coordenadas y. Então você vai ter 4 seno menos 5 seno, que é então menos seno. Ou seja, $y_{21} = -\operatorname{sen} t$.

Pronto. O movimento do referencial 2 visto pelo 1 já está escrito. Só que repara: o tempo $t$ ainda não sumiu. As duas equações ainda dependem dele, então isso ainda não é a trajetória, é o movimento parametrizado. O próximo passo é matar esse $t$ e ficar só com a relação entre $x_{21}$ e $y_{21}$, que é a curva de verdade que o observador 1 vê.

Como eliminar o tempo da equação?

Para achar a trajetória, você elimina o tempo com a identidade $\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1$.

Tem um negócio que você já sabe: seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é 1. É essa igualdade que faz o $t$ desaparecer.

Isola cada função. De $x_{21} = -2\cos t$ sai $\cos t = -x_{21}/2$, logo $\cos^2 t = x_{21}^2/4$. De $y_{21} = -\operatorname{sen} t$ sai $\operatorname{sen} t = -y_{21}$, logo $\operatorname{sen}^2 t = y_{21}^2$.

Essa é a função da identidade fundamental aqui: a ponte que troca duas equações paramétricas por uma equação da trajetória. Sacou a ideia? Sem esse passo você fica preso no tempo e nunca vê a curva aparecer.

Por que a trajetória é uma elipse?

A trajetória que o observador 1 vê o 2 traçar é uma elipse: $\dfrac{x_{21}^2}{4} + y_{21}^2 = 1$. É a letra D.

Entretanto, eu posso admitir um referencial se move em relação ao outro com movimento elíptico. O referencial azul, esse moleque, vai observar esse outro aqui escrevendo uma elipse. Olha que loucura.

Repara na elegância. A elipse tem semieixo 2 na horizontal (vem do $x_{21}^2/4$) e semieixo 1 na vertical (vem do $y_{21}^2$), centrada na origem. E eu cheguei nisso só sabendo como o mosquito se move visto de cada observador: subtraí um do outro e a identidade trigonométrica fez o resto.

É o tipo de resultado que dá gosto. Um observador enxergando o outro desenhar uma elipse no ar, sem que nenhum dos dois tenha feito nada de especial.

Qual é o erro mais comum?

O erro mais comum é confundir a trajetória do mosquito com o movimento do referencial 2.

A questão não pede a curva do mosquito. Nem a que o observador 1 vê, nem a que o observador 2 vê. Ela pede o $R_{21} = R_1 - R_2$, que dá $x_{21}^2/4 + y_{21}^2 = 1$. São três curvas diferentes:

Quem resolve no automático calcula a trajetória do mosquito, acha uma cônica bonita e marca a alternativa errada com a maior confiança, e o enunciado tem pegadinha exatamente com uma dessas curvas do mosquito.

Como treinar mudança de referencial?

Uma questão só não faz técnica. Mudança de referencial vira natural quando você treina em contextos diferentes. Três variações que eu resolvo no canal:

• Queda livre puro: achar o tempo para percorrer o último de vários trechos iguais, usando a função horária da posição do MUV.
• Cinemática vetorial de prova militar: velocidade vetorial média, soma e decomposição de vetores, do tipo que cai em Escola Naval e ITA.
• A questão mais difícil do ITA por mudança de referencial: a de distância mínima entre dois móveis. É a questãozinha linda do Ita, que eu resolvo não de uma, mas de duas formas lindas e distintas, cada uma explorando uma parte diferente da nossa inteligência.

A ideia é sempre a mesma que você acabou de ver: trocar um problema complicado por um simples, escolhendo o referencial certo.

Onde cai mudança de referencial?

Mudança de referencial cai em IME, ITA, Escola Naval, EsPCEx e nos vestibulares de engenharia mais puxados.

O ganho de dominar isso é concreto. Quando você escolhe o referencial certo, o problema muda de cara, eu troquei o problema complicado para um problema simples. Se você mira concurso militar ou ITA/IME, o jogo não é decorar a resposta desta questão; é treinar esse raciocínio até ele virar natural.

FAQ: desafio de cinemática do IME