Como calcular a distância percorrida com integral

Como calcular distância com integral?

Quando a velocidade muda o tempo todo, a distância que o corpo percorre é a área embaixo do gráfico de velocidade por tempo, e a integral $s = \int v(t)\,dt$ é a ferramenta que calcula essa área.

Sério, você já parou pra pensar qual que se calcula a distância de um carro cuja velocidade muda o tempo inteiro? Um carro a $20\,\text{m/s}$ anda 20 metros a cada segundo, tranquilo. Mas quando a velocidade sobe, desce e sobe de novo, não existe um número único pra jogar no $D = V \cdot t$.

A saída que Newton e Leibniz acharam é fatiar o movimento em pedaços tão curtos que, dentro de cada um, a velocidade quase não muda. Aí você calcula a área de cada retangulozinho e soma tudo. Essa soma infinita é a integral, e o resultado é a distância.

Nesta página eu construo isso do zero, com as fórmulas de verdade, e no fim resolvo um exemplo na mão: um trem que anda 360 metros calculados só somando áreas do gráfico.

Por que D=Vt não serve?

A fórmula $D = V \cdot t$ só vale quando a velocidade é constante. Num movimento em que ela muda o tempo todo? É meio que impossível aplicar a equação D igual a Vt, essa que você está querendo calcular. E o motivo é direto.

O motivo é o próprio V: o V que aparece nela, cada hora vale uma coisa. E ele muda em intervalos de tempo muito rápidos. Se eu olho o carro em $t = 1\,\text{s}$, um milésimo de segundo depois a velocidade já pode ter mudado. Qual número você ia colocar na conta? Não tem um só.

Enquanto a velocidade é constante, o famoso MRU, o $D = V \cdot t$ resolve numa boa. Assim que ela começa a variar, a fórmula pronta trava. E é essa trava que abre a porta pra ideia da área embaixo do gráfico e, lá na frente, pra integral.

Guarda essa pergunta, porque é ela que a página inteira responde: se não dá pra usar um V só, como é que a gente calcula a distância desse carro?

Como Newton fatiou o movimento?

A sacada de Newton foi fingir que o problema difícil é fácil. Ele diz: vou fingir que ela não muda. Aí você vai falar, como assim?

Calma, o raciocínio é esperto: imagina que você consegue analisar esse movimento num intervalo de tempo tão curto, mas tão curto, mas tão curto que a velocidade praticamente não muda. Nesse pedacinho, um infinitésimo, o nome que Newton deu pra ele, é como se não tivesse dado tempo de ela mudar.

E se a velocidade não muda ali dentro, ali eu volto a poder usar o $D = V \cdot t$, que vale justamente quando a velocidade é constante.

A jogada toda é essa: pegar um movimento impossível e picar ele em vários movimentos fáceis, um do lado do outro. Cada pedacinho, um probleminha que você já sabe resolver.

Por que cada fatia é um retângulo?

Cada fatia do movimento é um retângulo, e a área dele você já sabe calcular. Fazer $D = V \cdot t$ naquele pedacinho, no fundo, é calcular a área de um retângulo: base vezes altura. A base é o intervalo de tempo (o $\Delta t$) e a altura é a velocidade.

E aqui está a ponte que quase ninguém faz. Os movimentos que você já estudou são casos particulares dessa mesma área:

• No MRU, a velocidade é constante: o gráfico é uma reta deitada e a área é um retângulo inteiro. É o $D = V \cdot t$ puro.
• No MRUV, a velocidade cresce em linha reta: a área vira um trapézio (ou um triângulo, quando parte do repouso).

No movimento uniformemente variado dá até pra provar que a área desse trapézio é exatamente igual à área de um retângulo que tem mesma altura, com a base sendo a média das velocidades. É daí que sai, sem decoreba, a fórmula $d = V_0t + \tfrac{1}{2}at^2$. Retângulo, triângulo, trapézio: é tudo a mesma área embaixo do gráfico, só que em figuras que você já domina.

Se quiser ver essa conta saindo do papel, tem a demonstração completa no vídeo De onde vem a distância no Movimento Uniformemente Variado, onde eu parto do trapézio e chego na fórmula do MRUV.

Por que distância é a área?

Some a área de todos os retangulozinhos e você tem a área embaixo do gráfico inteiro. A distância percorrida num intervalo de tempo inteiro, então, vai ser a área de baixo do gráfico.

E olha que doido: isso não vale só pro carro do exemplo, a distância é sempre a área abaixo do gráfico de velocidade por tempo. Isso vale para qualquer tipo de movimento, seja uniforme, uniformemente variado ou o mais maluco que você imaginar.

Por quê? Porque calcular uma área é fazer base vezes altura, e no gráfico $v \times t$ a base é o tempo e a altura é a velocidade. Tempo vezes velocidade dá distância. Não tem mágica.

Se você consegue desenhar o gráfico da velocidade, a área embaixo dele te diz o quanto o corpo andou. É por isso que a mesma ideia resolve tanto o retângulo simples do MRU quanto uma curva impossível de calcular na mão: muda a figura, mas a regra continua a mesma, área é distância.

Como a soma vira integral (s=∫v dt)?

A integral é só o nome que a gente dá pra essa soma de infinitos retângulos infinitamente finos. Num retângulo qualquer, a área é o valor da função vezes a largura, e você soma todos. Como são infinitas parcelas, olha o pulo do gato: a gente substitui essa soma por um S. Que soma mesmo? No inglês, sum. Isso é o cálculo integral. Aquele S vira o símbolo esticado $\int$, e o $\Delta t$ (a largura do retângulo) vira $dt$, pra dizer que é infinitesimal.

No nosso caso, a função é a velocidade. Se no lugar de F de X a gente tiver a velocidade em função do tempo, a integral de V dt vai dar pra gente justamente qual foi a distância percorrida num intervalo. Escrevendo entre dois instantes $t_1$ e $t_2$:

Exemplo resolvido: a distância de um trem

Vamos botar pra rodar num exemplo, calculando a distância de um trem só de olhar o gráfico. Ele parte do repouso, acelera a $2\,\text{m/s}^2$ por $12\,\text{s}$ (chega a $24\,\text{m/s}$), segue a $24\,\text{m/s}$ por $6\,\text{s}$ e depois freia a $3\,\text{m/s}^2$ por $4\,\text{s}$ (cai pra $12\,\text{m/s}$).

Cada trecho é uma figura no gráfico da velocidade:

• Trecho 1, de 0 a 12 s: a velocidade sobe do zero até 24, é um triângulo. Área = $12 \times 24 \div 2 = 144\,\text{m}$.
• Trecho 2, de 12 a 18 s: velocidade constante em 24, é um retângulo. Área = $24 \times 6 = 144\,\text{m}$. Repara que isso é o próprio $D = V \cdot t$.
• Trecho 3, de 18 a 22 s: a velocidade cai de 24 pra 12, é um trapézio. Área = $48 + 24 = 72\,\text{m}$.

Soma os três: $144 + 144 + 72 = 360$ metros. Essa é a distância total, obtida sem decorar nenhuma fórmula pronta, só cortando o gráfico em figuras que você já calcula desde o ensino fundamental.

Quer ver essa mesma leitura de gráfico com mais exemplos? Tem aula completa em Gráficos de Cinemática, aula de física completa.

Quando a integral é obrigatória?

O critério pra saber quando você precisa mesmo da integral é olhar o formato do gráfico de velocidade por tempo.

• Se o gráfico é feito de retas, MRU (reta deitada) ou MRUV (reta inclinada), a área é retângulo, triângulo ou trapézio. Você resolve na mão, com geometria de ensino médio, sem integral nenhuma. Foi o que fizemos com o trem.
• Se o gráfico é uma curva, porque a velocidade varia de um jeito não-linear, não tem fórmula de figura pronta. Aí a integral $s = \int v(t)\,dt$ deixa de ser luxo e vira obrigatória: é a única forma de somar aquelas infinitas fatias.

A propriedade de que a área dá a distância vale sempre, pra qualquer movimento. O que muda é a ferramenta. Pra um desenho de retas, a geometria resolve. Mas pensa num movimento mais doido: chega a montanha russa para caramba bicho eu nem sei calcular a área embaixo desse cara. Aí é a integral que salva. Resumo: reta, geometria; curva, integral.

Como a derivada completa a integral?

A integral tem uma irmã: a derivada. Se calcular a área do gráfico de velocidade dá a distância, tirar a inclinação do gráfico de posição por tempo dá a velocidade. Uma é o contrário da outra.

Foi isso que Newton descreveu. Nas palavras dele, o que eu desenvolvi foi um jeito de calcular e medir o movimento no instante em que ele acontece. A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante do gráfico indo virar tangente. Em símbolos, $v = ds/dt$.

E o que garante que essas duas operações são inversas uma da outra é o teorema fundamental do cálculo: o inverso de uma inclinação é calcular uma área.

Ou seja, derivar leva da posição pra velocidade; integrar traz a velocidade de volta pra posição. Distância e velocidade, área e inclinação: duas faces da mesma moeda. Eu desenvolvo essa medida do movimento no instante, direitinho, no vídeo Como medir o movimento no instante em que ele acontece.

Quem inventou o cálculo integral?

Quem resolveu de vez esse problema da distância foram dois caras, ao mesmo tempo e cada um no seu canto: Newton e Leibniz. E os dois foram os criadores do cálculo integral e diferencial. Cada um criou, quieto em sua casa, invenções separadas, com notações diferentes, mas no fundo era a mesma coisa.

E a raiz é ainda mais antiga: lá na Grécia, o método da exaustão de Eudoxo já somava áreas por aproximação, com a mesma ideia por baixo.

Mas o que eu queria mesmo que você levasse daqui é a sacada por trás de tudo, que serve pra vida inteira de quem estuda exatas: como que a gente pega e resolve um problema que a gente não sabia, dividindo ele em infinitos problemas que a gente sabe resolver? O que era impossível virou infinitas continhas fáceis.

FAQ sobre distância e integral