Por que menos com menos é mais? A regra de sinais deduzida

Por que menos com menos é mais?

Menos com menos dá mais. E não é uma regra que caiu do céu pra você decorar: (−3) × (−4) = +12 porque, quando a multiplicação encontra os números negativos, a propriedade distributiva da multiplicação tem que continuar valendo. Isso aqui é um fundamento do jogo, isso aqui continua valendo mesmo com o número negativo, e é isso que obriga dois negativos a darem um número positivo.

A dedução inteira está aqui embaixo, por escrito, sem você precisar assistir a aula toda. Menos com menos é mais, mais com menos é menos, e cada um desses casos sai da mesma conta que fecha em zero. É daí que vêm 5 × (−3) = −15 e o próprio (−3) × (−4) = +12.

O que é a regra de sinais?

A regra de sinais é o conjunto de regrinhas que decide o sinal de uma multiplicação, mais com mais, mais com menos, menos com menos, e a boa notícia é que ela inteira sai de uma coisa só. A matemática é nada mais nada menos do que um jogo, a gente tem que entender a linguagem em que esse jogo foi escrito e quais são as regras desse jogo, em vez de decorar cada resultado.

A regra do jogo que resolve tudo aqui você provavelmente já viu com o apelido de chuveirinho, mas o nome correto desse negócio, beleza, é a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição: ela diz que 2 × (3 + 5) dá o mesmo que 2 × 3 + 2 × 5.

Entendeu a distributividade, você não precisa decorar os quatro casos de sinal. Você deduz cada um sozinho, e nunca mais esquece.

Por que mais vezes menos dá menos?

Mais vezes menos dá menos. Um número positivo, tipo o 5, multiplicado por um negativo, tipo o −3, dá −15, e aí aparece aquela regrinha de que mais com menos é menos.

Pensa comigo por que tem que ser assim. Eu sei que 5 × (3 − 3) é 5 × 0, que dá zero. Agora eu distribuo: 5 × 3 mais 5 × (−3). O 5 × 3 é 15. Então 15 mais 5 × (−3) tem que continuar dando zero.

Qual é o único número que somado com 15 dá zero? O −15. Então a gente conclui que quando eu faço 5 vezes menos 3, isso aqui tem que dar menos 15, porque 15 menos 15 dá zero. Não é decoreba: é o único jeito da conta fechar.

Por que menos vezes menos dá mais?

Menos vezes menos dá mais. Quando eu multiplico dois negativos, o resultado é um número positivo, e (−3) × (−4) = +12.

Vem comigo na conta. Eu sei que −3 × (4 − 4) é −3 × 0, que dá zero. Distribuindo: −3 × 4 mais (−3) × (−4). O −3 × 4 a gente já viu que é −12. Então −12 mais (−3) × (−4) tem que dar zero.

Qual número somado com −12 zera? Só o +12. Por isso (−3) × (−4) = +12. Se eu multiplico dois números negativos, menos com menos, dá mais, dá um número positivo. Isso simplesmente para que o jogo continue consistente.

A tabela completa da regra de sinais

Aqui estão os quatro casos da multiplicação de uma vez, pra você ter numa folha só. O atalho pra guardar é simples: sinais iguais dão positivo, sinais diferentes dão negativo.

E a divisão segue exatamente a mesma regra, porque dividir é multiplicar pelo inverso. Por isso (−12) ÷ (−3) = +4, pelo mesmo motivo de (−3) × (−4) dar +12.

Exemplos resolvidos passo a passo

Três contas de sinal resolvidas passo a passo, do jeito que cai na prova. Em todas o caminho é o mesmo: primeiro faz a soma e aí multiplica, ou primeiro multiplica e depois soma os resultados dos produtos. O resultado tem que ser o mesmo que é zero, e é isso que te dá o número que falta.

1. $5 \times (-3)$: parto de $5 \times (3-3) = 0$. Distribuo, $15 + 5\times(-3) = 0$, então $5\times(-3) = -15$.
2. $7 \times (-3)$: $7\times3$, sei que não tem segredo, vale 21. Parto de $7\times(3-3)=0$, distribuo, $21 + 7\times(-3) = 0$, então $7\times(-3) = -21$.
3. $(-3)\times(-4)$: parto de $-3\times(4-4)=0$. Distribuo, $-12 + (-3)\times(-4) = 0$, então $(-3)\times(-4) = +12$.

Esse 7 × (−3), com outro número, é a mesma conta que eu resolvo no vídeo sobre por que mais com menos é menos.

A analogia da dívida funciona sempre?

A analogia da dívida funciona bem pra mais vezes menos, mas começa a travar em menos vezes menos. Se eu estou devendo 3 reais e minha dívida quintuplicou de valor, agora eu estou devendo 15 reais, então eu continuo devendo, é por isso que 5 × (−3) dá −15.

É por isso que a dedução pela distributividade importa. A analogia serve pra você sentir o que acontece; a conta que zera é que prova de verdade.

A regra vale na soma?

Não. A regra de sinais vale na multiplicação e na divisão, mas não vale na soma nem na subtração. É aqui que muita gente escorrega: decora menos com menos é mais e sai aplicando onde não pode.

Repara na diferença. Quando você faz −3 − 5, você está somando duas quantidades negativas, então o resultado afunda mais: dá −8, não +8. O jogo de sinais só entra quando você multiplica ou divide.

Guardar isso é metade da briga. Sinais iguais viram positivo na multiplicação; na soma, dois negativos continuam negativos.

Erros comuns com a regra de sinais

Os erros mais comuns com sinais são quatro, e todos têm conserto rápido.

1. 01

   Esquecer o sinal do resultado

   (−3) × (−4) não é 12 solto no ar.

   Como evitar: escreva sempre o sinal do resultado, aqui é +12, com o sinal decidido de propósito.
2. 02

   Confundir −x com x negativo

   Se x = −2, então −x = +2.

   Como evitar: lembre que o sinal de menos inverte o que estiver ali, não deixa tudo negativo.
3. 03

   Achar que a regra vale na soma

   Menos com menos é mais é regra de multiplicação e divisão.

   Como evitar: não vale na soma nem na subtração, confira a operação antes de aplicar.
4. 04

   Errar a contagem num produto longo

   Em produtos com vários fatores negativos, o sinal final depende de quantos são.

   Como evitar: conte os fatores negativos, par dá positivo, ímpar dá negativo.

Por onde continuar a estudar?

Se você entendeu os sinais, o próximo passo é seguir pela base, porque cada regra da matemática tem um porquê que dá pra deduzir. E você consegue provar todas as regras usando esse raciocínio. E se você quiser entender como a matemática funciona, é seguir por aqui comigo.

Continua pelos números negativos, pelas frações, pelas potências, sempre entendendo de onde a regra vem, em vez de decorar.

Continue em Aritmética De onde vêm os números negativos

E se você quer firmar toda a matemática do zero desse jeito, é exatamente isso que eu montei no Desvendando a Matemática: um curso de matemática do zero, organizado em módulos, com as correções em vídeo. Do jeito que a gente fez aqui: entender, não decorar.

Perguntas frequentes sobre a regra de sinais