Elipse: entenda a curva, seus elementos e a equação

O que é a elipse na matemática?

A elipse é aquela curva "meio oval" da geometria: o lugar dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é sempre a mesma. É a curva que os planetas descrevem lá no céu. E é ela que eu ensino aqui do zero, pra mais de 1 milhão de inscritos no YouTube.

E não, ela não tem nada a ver com a elipse da gramática, aquela de omitir uma palavra na frase. Se você caiu aqui procurando figura de linguagem, esta não é a sua página.

A gente vai construir tudo do zero. Primeiro o desenho pelos dois focos, com a intuição do barbante preso em dois pregos; só depois os elementos, a excentricidade e a equação reduzida. Se você quer entender a curva de verdade, do jeito que ela cai no ENEM e nas provas militares, senta aí. Atualizado em jul/2026.

Como a elipse é definida pelos dois focos?

A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante. Quer sentir isso na mão? Pega dois pregos, prende as duas pontas de um barbante, uma em cada prego, e risca com o lápis mantendo o barbante sempre esticado. A curva que aparece é a elipse.

E olha a sacada: não importa onde o lápis esteja, a soma das duas distâncias até os pregos é sempre a mesma. É o comprimento do barbante. Os dois pregos são os focos da elipse, e a distância entre eles é a distância focal. Em fórmula, a gente escreve isso como $d_1 + d_2 = 2a$, com o $2a$ sendo o comprimento do barbante.

Sacou a ideia? A gente não decorou nada aqui. Construiu a curva a partir de uma propriedade, a soma constante, e é dela que toda fórmula da elipse vai sair depois.

Quais são os elementos da elipse?

Os elementos da elipse são o centro, os dois focos, os quatro vértices, o eixo maior, o eixo menor e a distância focal, todos amarrados pela relação $a^2 = b^2 + c^2$. Com a curva desenhada na mão, é só batizar cada peça:

Aqui eu estou assumindo que o A é maior do que o B, né, então 2A seria o eixo maior, 2B o eixo menor. E aquela relação $a^2 = b^2 + c^2$ não é pra decorar: ela cai sozinha de um triângulo retângulo que aparece quando você leva um foco até o vértice do eixo menor.

O que é a excentricidade da elipse?

A excentricidade da elipse é $e = \tfrac{c}{a}$: a distância focal dividida pelo eixo maior. Esse número mede uma coisa só, o quanto a elipse é achatada.

Como o $c$ é sempre menor que o $a$, a excentricidade fica sempre entre 0 e 1. Perto de 0, os focos ficam quase colados no centro e a elipse é quase um círculo. Perto de 1, os focos se afastam e a curva estica, vira um charuto.

É por isso que eu gosto de dizer que a excentricidade é a identidade da forma. Dois eixos $a$ e $b$ diferentes já te dão uma elipse. Mas é o $e$ que decide se ela é quase redonda ou bem alongada. Guarda esse intervalo, $0 \le e < 1$, que ele volta já já na próxima seção.

Elipse ou circunferência: qual é a diferença?

A circunferência é um caso particular da elipse: é a elipse com excentricidade zero. Quando os dois eixos ficam iguais, $a = b$, os dois focos se juntam bem no centro, a distância focal vira zero e a excentricidade zera, $e = 0$. Aí a curva vira um círculo.

Ou seja: todo círculo é uma elipse com $e = 0$, mas nem toda elipse é um círculo. Essa é a resposta pra pergunta "por que não é um círculo?": a elipse tem dois focos distintos e uma excentricidade maior que zero, e é justamente a distância entre esses focos que estica a curva.

Compara as duas lado a lado que a diferença fica na cara:

Qual é a equação reduzida da elipse?

A equação reduzida da elipse centrada na origem é x ao quadrado sobre a ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado é igual a 1, ou, escrita limpa, $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Você põe o centro na origem e os eixos da elipse em cima dos eixos x e y, e aquela definição do barbante, a soma das distâncias constante, se transforma nessa equação enxuta.

Nesse sistema de coordenadas alinhado, a equação dela fica linda, bonitinha. Equação reduzida da elipse.

E tem um detalhe que separa quem entende de quem decora: o $a^2$ fica embaixo da variável do eixo onde estão os focos. Focos no eixo x, o $a^2$ vai debaixo do $x^2$. Focos no eixo y, o $a^2$ vai debaixo do $y^2$. Não é pra trocar as letras de posição no chute, é pra saber por que cada uma está ali.

E quando o centro sai da origem?

Quando a elipse não está centrada na origem, a equação reduzida vira $\dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, com o centro num ponto $(x_0, y_0)$ qualquer. A lógica é a mesma de antes: a gente só trocou o $x$ por $(x - x_0)$ e o $y$ por $(y - y_0)$.

Isso é uma translação. Você pega a elipse da origem e escorrega ela até o novo centro, sem mudar a forma. É o mesmo truque que já aparece na circunferência e na parábola, então não é conteúdo novo. É o mesmo conceito reaproveitado.

E é esse o pulo do gato que cai pesado em prova militar: quando o enunciado te dá uma equação cheia de termos e quer que você descubra o centro completando quadrados.

Por que os planetas orbitam em elipse?

Os planetas orbitam em elipse porque a atração do Sol produz exatamente essa curva, com o Sol ocupando um dos focos, não o centro. Essa é a 1ª Lei de Kepler, e ela dá sentido físico a tudo que a gente construiu no quadro: o outro foco fica "vazio", só marcando a simetria da órbita.

E a excentricidade, aquele número do achatamento, vira aqui a medida de quão alongada é a órbita. A da Terra tem $e$ bem pequena, quase um círculo. A de um cometa tem $e$ perto de 1, uma elipse esticada que leva ele pra longe e traz de volta.

É a mesma matemática das cônicas que reaparece na física. Eu mostro isso direto nas aulas de nível militar, quando a gente compõe dois movimentos harmônicos simples perpendiculares: essa sua superposição de dois movimentos harmônicos simples, vai dar, em geral, uma elipse rotacionada. Por isso eu gosto de mostrar a elipse não como fórmula solta, mas como uma ideia que atravessa a geometria e o céu.

Como resolver uma questão de elipse no vestibular?

Pra resolver uma questão de elipse, o roteiro é quase sempre o mesmo:

Nos níveis mais altos o jogo sobe. Aquele aulinha cabulosa de MHS, nível militares e TI, nós vamos na verdade deduzir aqui juntos a equação da elipse rotacionada, mas antes de chegar nesse nível, a gente resolve passo a passo, sem pular etapa e mostrando de onde veio cada número. Porque numa prova o que te salva não é a fórmula decorada: é saber reconstruir tudo a partir da definição quando a memória falha.

Perguntas frequentes sobre a elipse