v = ω·r: linear e angular

Qual é a relação entre velocidade linear e angular?

Para um ponto a uma distância r do eixo de rotação:

O que significa cada símbolo?

O ω precisa estar em rad/s — é o que torna a fórmula tão limpa:

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? Da própria definição de radiano, e a dedução tem duas linhas.

O radiano é definido de modo que o arco percorrido seja $s=\theta r$. Dividindo os dois lados pelo tempo, o lado esquerdo vira velocidade linear e o direito traz a velocidade angular:

Repara que a fórmula só fica assim limpa porque o radiano foi definido dessa forma. Em graus, seria preciso arrastar um fator $\pi \mathrm{/}180$ — o que mostra que a escolha do radiano não foi estética, foi funcional.

A consequência prática é direta: com o mesmo ω, a velocidade cresce proporcionalmente ao raio. Num carrossel, quem está no dobro da distância do centro anda com o dobro da velocidade. E aqui está o fato que costuma surpreender. Você, sentado, está girando com a Terra. Na linha do equador, o raio é de 6.371 km e o período é de 24 horas, o que dá $v=2\pi R\mathrm{/}T\approx 463$ m/s — cerca de 1.667 km/h, mais rápido que a velocidade do som. Não se sente nada porque tudo ao redor gira junto, e porque a aceleração envolvida é minúscula. Nos polos, o raio de rotação é praticamente zero, e a velocidade linear também. Mesmo ω, raios diferentes — é a fórmula em ação na escala do planeta. Em ligações por correia, a fórmula vira uma proporção útil: como v é igual nas duas bordas, ${\omega }_1{r}_1={\omega }_2{r}_2$. Roda pequena gira mais rápido.

Quando usar (e quando não)?

Use em rodas, engrenagens, correias, polias, discos e rotação de planetas. É a fórmula que traduz entre as duas linguagens do movimento circular.

Combinada com $\omega =2\pi \mathrm{/}T$, ela permite achar a velocidade de qualquer ponto sabendo apenas o período da rotação e a distância ao eixo.

Exemplo resolvido

Antes de calcular (b), prevê: a Terra tem 40 mil km de circunferência no equador e leva 24 h para girar. Isso dá algo em torno de 1.667 km/h — mais rápido que um avião comercial:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Usar ω em rpm ou graus por segundo

   A fórmula exige rad/s. Substituir rpm direto erra o resultado por um fator de $2\pi \mathrm{/}60$.

   Como evitar: converta antes: rpm × 2π/60 dá rad/s.
2. 02

   Confundir raio da roda com raio da trajetória

   Numa bicicleta, o r da fórmula é o raio da RODA, que determina quanto ela avança por rotação — não o raio da curva que ela faz.

   Como evitar: identifique o eixo de rotação e meça a distância do ponto até ele.
3. 03

   Achar que engrenagens ligadas têm o mesmo ω

   Ligadas por correia ou contato, a velocidade LINEAR na borda é que é igual. O ω fica inversamente proporcional ao raio.

   Como evitar: use ${\omega }_1{r}_1={\omega }_2{r}_2$ quando houver ligação por borda.

FAQ: perguntas sobre a relação entre velocidade linear e angular