Segunda Lei de Kepler: a lei das áreas explicada

Q: O que diz a Segunda Lei de Kepler?

Que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

Q: Por que o planeta acelera perto do Sol?

Porque o raio é menor e o arco precisa ser maior para varrer a mesma área.

Q: Qual a relação com o momento angular?

A taxa de área varrida é L/2m, então a lei é conservação de momento angular.

Q: Por que o momento angular se conserva na órbita?

Porque a gravidade é radial e produz torque nulo em relação ao Sol.

Q: Quanto a Terra acelera ao longo do ano?

Cerca de 3,4%, de 29,29 a 30,29 km/s.

Q: Por que o cometa Halley fica pouco tempo visível?

Porque cruza o periélio muito rápido e passa décadas na parte lenta da órbita.

Q: Qual a relação com a patinadora que gira?

É o mesmo princípio de conservação do momento angular.

O que diz a Segunda Lei de Kepler?

Para o segmento que liga o Sol ao planeta:

Lei das áreas

\frac{Δ A}{Δ t} = constante

A taxa com que o raio vetor varre área é a mesma em qualquer trecho da órbita — perto ou longe do Sol.

Consequência prática

v_{p} r_{p} = v_{a} r_{a}

Velocidade vezes distância é constante nos extremos. Perto do Sol, r é menor, então v é maior.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Experimental: nasceu de medição: a natureza tem a palavra final — a pergunta certa é "que experimento sustenta isso?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Os índices p e a se referem ao periélio e ao afélio:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$Δ A$	área varrida pelo raio vetor	m² ou UA²
$v_{p}, r_{p}$	velocidade e distância no periélio	m/s e m
$v_{a}, r_{a}$	velocidade e distância no afélio	m/s e m

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? Novamente de dados — selo Experimental. Kepler percebeu, ajustando as observações de Marte, que o planeta não percorre a órbita com velocidade uniforme, e procurou o que seria uniforme. Encontrou a área varrida.

A leitura geométrica é bonita. Perto do Sol o raio vetor é curto, então para varrer a mesma área o planeta precisa percorrer um arco longo — ou seja, ir rápido. Longe do Sol o raio é comprido, e um arco curto já varre a mesma área — o planeta vai devagar.

Dois séculos depois, a mecânica newtoniana revelou o que está por trás: conservação do momento angular. A gravidade aponta sempre para o Sol, ou seja, ao longo do raio vetor — e força na direção do raio produz torque zero em relação ao Sol. Sem torque externo, o momento angular não muda:

Por trás da lei · momento angular constante

τ_{Sol} = 0 \Rightarrow L = m v r sen θ = const \Rightarrow \frac{Δ A}{Δ t} = \frac{L}{2 m} = const

A taxa de área varrida é exatamente o momento angular dividido por duas vezes a massa. Uma constante é a outra.

A relação $Δ A / Δ t = L / 2 m$ diz que as duas leis são a mesma coisa escrita de formas diferentes. Kepler encontrou empiricamente uma constante que só faria sentido pleno com Newton. Você pode estar pensando: “quanto o planeta acelera de verdade?” Para a Terra, pouco. A razão entre as velocidades extremas é $v_{p} / v_{a} = r_{a} / r_{p} = 152, 1 / 147, 1 = 1, 034$ — cerca de 3,4%. Na prática, 30,29 km/s no periélio contra 29,29 km/s no afélio. Mas em órbitas excêntricas o efeito é dramático. O cometa Halley cruza o periélio a mais de 50 km/s e se arrasta a menos de 1 km/s no afélio. É por isso que ele passa rapidíssimo perto do Sol — visível por poucas semanas — e leva 76 anos para voltar: quase todo esse tempo é gasto na parte lenta e distante da órbita. O mesmo princípio explica a patinadora que fecha os braços e gira mais rápido. Raio menor, velocidade maior, momento angular constante.

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Quando usar (e quando não)?

Use para relacionar velocidades em pontos diferentes de uma órbita elíptica, especialmente periélio e afélio.

Combinada com a conservação de energia, ela permite resolver órbitas elípticas completamente: duas equações, duas incógnitas.

A relação simples $v_{p} r_{p} = v_{a} r_{a}$ vale apenas nos ápsides (periélio e afélio), onde a velocidade é perpendicular ao raio. Em outros pontos é preciso o $sen θ$ .

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: a razão entre as distâncias extremas é de apenas 3,4%, então a razão entre as velocidades deve ser a mesma — a Terra acelera pouco ao longo do ano:

🪖 IntermediárioA Terra em janeiro e em julho

A Terra tem periélio a 147,1 e afélio a 152,1 milhões de km. Se sua velocidade no afélio é 29,29 km/s, qual é no periélio?

Pela lei das áreas nos ápsides: $v_{p} r_{p} = v_{a} r_{a}$ .
$v_{p} = v_{a} \cdot \frac{r_{a}}{r_{p}} = 29, 29 \cdot \frac{152, 1}{147, 1}$ .
$\frac{152, 1}{147, 1} \approx 1, 034$ .
$v_{p} \approx 30, 29 km/s$ .

v_{p} \approx 30, 29

km/s, cerca de 3,4% mais rápido que no afélio

Verificação: bateu com a previsão — a razão das velocidades é exatamente a razão inversa das distâncias ✓. Em números absolutos, a Terra ganha 1 km/s entre julho e janeiro. E no cometa Halley? Com periélio a 0,59 UA e afélio a 35 UA, a razão é de quase 60 — ele cruza o periélio dezenas de vezes mais rápido do que se arrasta no afélio, e é por isso que fica visível por tão pouco tempo.

Quais os erros mais comuns?

01
Achar que o planeta tem velocidade constante
Ele acelera no periélio e desacelera no afélio. O que é constante é a área varrida por unidade de tempo, não a velocidade.
Como evitar: a lei fala de área, justamente porque a velocidade não serve.
02
Aplicar v·r = const em qualquer ponto
Essa forma simples só vale nos ápsides, onde a velocidade é perpendicular ao raio. Nos demais pontos entra o $sen θ$ .
Como evitar: use a forma completa $m v r sen θ$ fora do periélio e do afélio.
03
Confundir com a conservação de energia
São leis distintas: a das áreas vem do momento angular; a energia dá outra equação. Órbitas elípticas costumam exigir as duas.
Como evitar: identifique qual grandeza o problema pede antes de escolher a equação.

FAQ: perguntas sobre a Segunda Lei de Kepler

O que diz a Segunda Lei de Kepler?

Que a linha que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais, o que implica velocidade maior perto do Sol.

Por que o planeta acelera perto do Sol?

Porque o raio vetor é mais curto ali. Para varrer a mesma área no mesmo tempo, o planeta precisa percorrer um arco maior — ou seja, ir mais rápido.

Qual a relação com o momento angular?

Direta: $Δ A / Δ t = L / 2 m$ . A lei das áreas é a conservação do momento angular escrita em linguagem geométrica.

Por que o momento angular se conserva na órbita?

Porque a gravidade aponta sempre para o Sol, na direção do raio vetor. Força radial produz torque nulo em relação ao Sol, e sem torque o momento angular não muda.

Quanto a Terra acelera ao longo do ano?

Cerca de 3,4%: vai de 29,29 km/s no afélio a 30,29 km/s no periélio. A variação é pequena porque a órbita é quase circular.

Por que o cometa Halley fica pouco tempo visível?

Porque sua órbita é muito excêntrica. Ele cruza o periélio a mais de 50 km/s e passa a maior parte dos 76 anos se arrastando na parte distante e lenta da órbita.

A relação v·r = constante vale em qualquer ponto?

Não. Ela vale nos ápsides, onde a velocidade é perpendicular ao raio. Em outros pontos é preciso incluir o seno do ângulo entre eles.

Qual a relação com a patinadora que gira?

É o mesmo princípio: ao reduzir o raio, a velocidade aumenta para manter o momento angular constante.

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O que diz a Segunda Lei de Kepler?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

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Quais os erros mais comuns?

Achar que o planeta tem velocidade constante

Aplicar v·r = const em qualquer ponto

Confundir com a conservação de energia

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