Fórmula da 3ª Lei de Kepler: T²/a³ constante, explicada

Q: Qual é a fórmula da Terceira Lei de Kepler?

T²/a³ = k: o quadrado do período orbital dividido pelo cubo do semieixo maior é constante para todos os corpos que orbitam o mesmo astro. Newton mostrou que k = 4π²/GM.

Q: A Terceira Lei de Kepler é experimental ou demonstrável?

As duas, em épocas diferentes: Kepler a extraiu de dados em 1618; Newton a demonstrou a partir da gravitação em 1687.

Q: O que é o k da fórmula?

A constante do sistema: 4π²/GM, onde M é a massa do corpo central. Cada sistema tem o seu k.

Q: Como usar a lei sem saber G e M?

Por proporção: T1²/a1³ = T2²/a2³, comparando duas órbitas do mesmo sistema.

Q: A lei vale para órbitas elípticas?

Vale, com a sendo o semieixo maior da elipse. Na órbita circular, o semieixo é o próprio raio.

Q: Por que o Sol fica num foco da elipse e não no centro?

Porque é o que a gravitação exige: no problema de dois corpos, a trajetória ligada é uma elipse com o corpo central num dos focos.

Q: Se as órbitas são elipses, por que a dedução usa círculo?

Porque as órbitas planetárias são quase circulares — a da Terra tem excentricidade 0,017 — e a aproximação entrega a mesma constante 4π²/GM.

Q: Por que usar unidades astronômicas e anos nos cálculos?

Porque nessas unidades a constante do Sistema Solar vale 1: T² = a³, com T em anos e a em UA.

Qual é a fórmula da Terceira Lei de Kepler?

Pra qualquer corpo orbitando o mesmo astro central:

Terceira Lei de Kepler

\frac{T^{2}}{a^{3}} = k

A razão entre o quadrado do período e o cubo do semieixo maior é a mesma pra todos os planetas do sistema. Órbita maior, ano mais longo — em proporção exata.

A constante, revelada por Newton

\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}

A constante k não é um número mágico: depende só da massa M do corpo central. É por isso que vale um k pro Sol e outro pra Terra.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Experimental: nasceu de medição: a natureza tem a palavra final — a pergunta certa é "que experimento sustenta isso?" Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

O elenco, com o detalhe que define tudo: M é do corpo CENTRAL.

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$T$	período orbital (tempo de uma volta)	segundo (s), ou ano
$a$	semieixo maior da órbita (raio médio)	metro (m), ou UA
$k$	constante do sistema — igual pra todos os corpos que orbitam o mesmo astro	depende das unidades
$G$	constante da gravitação universal	«K: 6{,}67 \times 10^{-11} » N·m²/kg²
$M$	massa do corpo central	quilograma (kg)

De onde vem a fórmula?

A pergunta é dupla, porque esta fórmula tem duas certidões de nascimento. A primeira: Kepler passou anos garimpando as medições de Tycho Brahe até notar que T²/a³ dava o mesmo número pra todos os planetas. Nenhuma teoria explicava — os dados simplesmente diziam isso. Selo Experimental.

A segunda certidão veio com Newton: se a gravitação fornece a força centrípeta de uma órbita circular, a lei sai da conta em três linhas:

Dedução de Newton · órbita circular

\frac{G M m}{a^{2}} = \frac{m (2 π a / T)^{2}}{a} \Rightarrow \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}

Gravitação = centrípeta. O m do planeta corta, e a constante de Kepler aparece com nome e sobrenome: 4π²/GM.

Você pode estar pensando: “se as órbitas são elipses, por que a dedução usou um círculo?” Boa pergunta — e a resposta é que as órbitas planetárias são elipses quase circulares. A da Terra tem excentricidade de 0,017: se você desenhasse em escala, não distinguiria de um círculo a olho nu. Os desenhos achatados dos livros exageram de propósito, pra mostrar onde fica o foco. A aproximação circular erra pouquíssimo e entrega a constante certa; a dedução completa, com elipse, dá o mesmo $4 π^{2} / G M$ . E já que falamos de foco: o Sol não fica no centro da elipse, e sim num dos focos. Isso não é capricho — é consequência direta da gravitação, e é o que faz o planeta acelerar quando se aproxima e desacelerar quando se afasta (a Segunda Lei de Kepler). É o exemplo perfeito de que o selo de uma fórmula depende do estado do conhecimento: experimental em 1618, demonstrável a partir de 1687. O Guia de Fórmulas usa exatamente esse caso pra explicar a classificação.

Leis de Kepler: as 3 leis e a fórmula T²/r³

Quando usar (e quando não)?

Use pra comparar órbitas ao redor do MESMO corpo central: planetas em torno do Sol, satélites e a Lua em torno da Terra. Em razão de proporção ( $T_{1}^{2} / a_{1}^{3} = T_{2}^{2} / a_{2}^{3}$ ), você resolve sem conhecer G nem M.

Com unidades astronômicas: pro Sol, T em anos e a em UA dão k = 1 — a Terra é a régua. Marte, com a ≈ 1,52 UA, tem T = √(1,52³) ≈ 1,87 anos. Direto.

A lei compara órbitas do mesmo sistema: o k do Sol não serve pra satélites da Terra. E o a é o semieixo maior — em órbita elíptica, não confunda com a distância mínima ou máxima.

Exemplo resolvido

Antes da conta, prevê: a órbita ficou maior, então o ano do satélite tem que ficar mais longo. E cresce mais que a distância, porque o expoente é 3/2 — dobrar o raio deve aumentar o período em algo entre 2 e 3 vezes. Vamos ver:

🪖 IntermediárioDobrando o raio da órbita

Um satélite orbita a Terra com período T a uma distância r do centro. Se a distância for dobrada, qual o novo período?

Mesmo corpo central → $\frac{T_{1}^{2}}{r^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{(2 r)^{3}}$ .
Isola: $T_{2}^{2} = T_{1}^{2} \cdot \frac{8 r^{3}}{r^{3}} = 8 T_{1}^{2}$ .
$T_{2} = \sqrt{8} T_{1} = 2 \sqrt{2} T_{1} \approx 2, 83 T_{1}$ .

O novo período é

2 \sqrt{2} \approx 2, 83

vezes o original

Verificação: bateu com a previsão: 2,83 está entre 2 e 3, como o expoente 3/2 exigia. Órbita maior é caminho mais longo E velocidade menor — os dois efeitos se somam. E se a distância triplicasse? $T_{2} = 3^{3 / 2} T_{1} \approx 5, 2 T_{1}$ : o período cresce ainda mais rápido. É por isso que Netuno leva 165 anos para dar uma volta enquanto a Terra leva 1.

Quais os erros mais comuns?

01
Comparar órbitas de sistemas diferentes
Usar o mesmo k pra um planeta do Sol e um satélite da Terra mistura constantes de sistemas distintos — k depende da massa central.
Como evitar: antes de montar a proporção, confirme: os dois corpos orbitam o MESMO astro?
02
Trocar o expoente: T³/a² em vez de T²/a³
Com a ordem invertida a proporção erra em qualquer conta. É o lapso de memória mais comum do assunto.
Como evitar: guarde pela dedução, não pelo som: o cubo vem do $a^{2}$ da gravitação vezes o $a$ da centrípeta. Quadrado do tempo, cubo da distância.
03
Usar o diâmetro ou a altitude em vez do raio da órbita
Pra satélites, a distância é do CENTRO da Terra, não da superfície. Esquecer o raio terrestre (~6400 km) muda tudo.
Como evitar: r = raio da Terra + altitude. Desenhe o esquema antes de substituir.

FAQ: perguntas sobre a fórmula da Terceira Lei de Kepler

Qual é a fórmula da Terceira Lei de Kepler?

$T^{2} / a^{3} = k$ : o quadrado do período orbital dividido pelo cubo do semieixo maior é constante pra todos os corpos que orbitam o mesmo astro. Newton mostrou que $k = 4 π^{2} / G M$ .

A Terceira Lei de Kepler é experimental ou demonstrável?

As duas coisas, em épocas diferentes: Kepler a extraiu de dados (1618); Newton a demonstrou a partir da gravitação (1687). É o exemplo clássico de que o estatuto de uma lei evolui com o conhecimento.

O que é o k da fórmula?

A constante do sistema: $4 π^{2} / G M$ , onde M é a massa do corpo central. Todos os planetas do Sol compartilham o mesmo k; os satélites da Terra, outro.

Como usar a lei sem saber G e M?

Por proporção: $T_{1}^{2} / a_{1}^{3} = T_{2}^{2} / a_{2}^{3}$ . Compare duas órbitas do mesmo sistema e as constantes somem da conta.

A lei vale para órbitas elípticas?

Vale — com a sendo o semieixo maior da elipse. Pra órbita circular, o semieixo é o próprio raio.

Por que o Sol fica num foco da elipse e não no centro?

Porque é o que a gravitação exige: resolvendo o problema de dois corpos, a trajetória ligada é uma elipse com o corpo central num dos focos. É essa assimetria que faz o planeta ir mais rápido perto do Sol e mais devagar longe dele.

Se as órbitas são elipses, por que a dedução usa círculo?

Porque as órbitas planetárias são elipses quase circulares — a da Terra tem excentricidade 0,017. A aproximação circular erra muito pouco e entrega a mesma constante $4 π^{2} / G M$ da dedução completa.

Por que usar unidades astronômicas e anos nos cálculos?

Porque nessas unidades a constante do Sistema Solar vale exatamente 1: $T^{2} = a^{3}$ com T em anos e a em UA. A Terra vira a régua, e a conta sai sem G, sem massa e sem calculadora.

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Qual é a fórmula da Terceira Lei de Kepler?

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De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

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Quais os erros mais comuns?

Comparar órbitas de sistemas diferentes

Trocar o expoente: T³/a² em vez de T²/a³

Usar o diâmetro ou a altitude em vez do raio da órbita

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