Lemas de Kaplansky: fórmulas para elementos não consecutivos

Q: O que dizem os Lemas de Kaplansky?

Contam escolhas de p elementos entre n sem dois consecutivos, em fila e em círculo.

Q: Qual é a fórmula do primeiro lema?

K(n,p) = C(n−p+1, p), para elementos em fila.

Q: Qual é a fórmula do segundo lema?

K*(n,p) = [n/(n−p)]·C(n−p, p), para elementos em círculo.

Q: Como se demonstra o primeiro lema?

Os não escolhidos criam n−p+1 espaços, e escolhem-se p deles.

Q: Por que o resultado circular é menor?

Porque no círculo o primeiro e o último também são vizinhos.

Q: Quando usar cada lema?

Fila usa o primeiro; mesa redonda e polígono usam o segundo.

Q: Onde esses lemas aparecem em prova?

Em problemas de assentos e escalas, típicos de ITA e IME.

Q: E se a adjacência for permitida?

A resposta passa a ser a combinação simples C(n,p).

Quais são os Lemas de Kaplansky?

Para escolher p elementos entre n, sem que dois sejam consecutivos:

Primeiro Lema · elementos em fila

K (n, p) = (\binom{n - p + 1}{p})

Vale quando os n elementos estão alinhados, e apenas vizinhos imediatos na fila são proibidos.

Segundo Lema · elementos em círculo

K^{*} (n, p) = \frac{n}{n - p} (\binom{n - p}{p})

No círculo, o primeiro e o último também são vizinhos — o que reduz o número de escolhas válidas.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

A distinção fila × círculo é toda a diferença entre os dois lemas:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	total de elementos disponíveis	natural
$p$	quantidade a escolher	natural
$K (n, p)$	escolhas válidas em fila	natural
$K^{*} (n, p)$	escolhas válidas em círculo	natural

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem o primeiro lema? De um truque de redução — o mesmo espírito das estrelas e barras. Em vez de contar diretamente, transformamos o problema num que já sabemos resolver.

Pense assim: se você escolhe p elementos não consecutivos entre n, sobram $n - p$ elementos não escolhidos. Esses $n - p$ elementos criam $n - p + 1$ espaços onde os escolhidos podem ser colocados — os intervalos entre eles, mais as duas pontas.

E como não pode haver dois escolhidos juntos, cada espaço recebe no máximo um. Contar as escolhas válidas vira, portanto, escolher p espaços entre os $n - p + 1$ disponíveis:

Primeiro Lema · escolhendo espaços em vez de posições

\underset{n \tilde{a} o escolhidos}{\underset{⏟}{n - p}} \Rightarrow \underset{espa \overset{¸}{c} os}{\underset{⏟}{n - p + 1}} \Rightarrow K (n, p) = (\binom{n - p + 1}{p})

Os não escolhidos criam os espaços; escolher quais espaços receber um elemento resolve o problema. É combinação simples.

O segundo lema trata do círculo, onde há uma dificuldade extra: o primeiro e o último elemento são vizinhos, o que a fila não tinha. Isso proíbe escolhas que seriam válidas na fila, e por isso $K^{*}$ é sempre menor que K para os mesmos n e p. O fator $\frac{n}{n - p}$ que aparece na fórmula é justamente a correção que dá conta dessa circularidade. Você pode estar pensando: “onde isso cai em prova?” Nos problemas de assentos, que são o disfarce mais comum. “De quantos modos 3 pessoas podem sentar em 8 cadeiras em fila sem que fiquem lado a lado?” — primeiro lema. “E se as cadeiras estiverem em volta de uma mesa redonda?” — segundo lema. Aparece também em escalas de plantão sem dias seguidos, em seleção de projetos que não podem ser adjacentes, e em qualquer situação em que “vizinhança” seja proibida. Uma nota de honestidade: esses lemas são conteúdo de ITA e IME, praticamente ausentes do ENEM. Se você não presta vestibular militar, é razoável priorizar outras fichas antes desta. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando o enunciado proibir escolhas adjacentes: cadeiras vizinhas, dias consecutivos, casas seguidas num tabuleiro.

A pergunta que escolhe o lema é: os elementos estão em fila ou em círculo? Mesa redonda, pulseira e polígono pedem o segundo.

Confira se o arranjo é linear ou circular antes de escolher o lema. Num círculo, o primeiro e o último elemento são vizinhos — e ignorar isso superestima a contagem.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: no círculo há uma restrição a mais (o primeiro e o último são vizinhos), então a resposta circular tem que ser MENOR que a da fila:

🪖 AvançadoCadeiras em fila e em volta da mesa

De quantos modos escolher 3 cadeiras entre 8, sem que duas escolhidas sejam vizinhas, se as cadeiras estão (a) em fila e (b) em volta de uma mesa redonda?

(a) Primeiro lema: $K (8, 3) = (\binom{8 - 3 + 1}{3}) = (\binom{6}{3})$ .
$= \frac{6!}{3! 3!} = 20$ modos.
(b) Segundo lema: $K^{*} (8, 3) = \frac{8}{8 - 3} (\binom{8 - 3}{3}) = \frac{8}{5} (\binom{5}{3})$ .
$= \frac{8}{5} \cdot 10 = 16$ modos.

(a)

20

modos em fila · (b)

16

modos em círculo

Verificação: bateu com a previsão: o círculo deu menos, exatamente 4 a menos. E esses 4 são precisamente as escolhas que incluíam simultaneamente a primeira e a oitava cadeira — válidas na fila, proibidas no círculo. Uma enumeração exaustiva das $(\binom{8}{3}) = 56$ escolhas possíveis confirma os dois valores. E com 10 cadeiras e 4 pessoas? Fila: $(\binom{7}{4}) = 35$ ; círculo: $\frac{10}{6} (\binom{6}{4}) = 25$ .

Quais os erros mais comuns?

01
Usar o primeiro lema em arranjo circular
No círculo, o primeiro e o último elemento são vizinhos. O primeiro lema ignora isso e superestima a contagem.
Como evitar: mesa redonda, pulseira e polígono são circulares. Fila, prateleira e calendário linear não.
02
Confundir n com p na fórmula
n é o total disponível e p é quanto se escolhe. Trocar os dois produz um binomial completamente diferente.
Como evitar: anote os dois valores separadamente antes de substituir.
03
Aplicar quando a adjacência é permitida
Se o enunciado não proíbe vizinhos, a resposta é a combinação simples $(\binom{n}{p})$ , bem maior.
Como evitar: só use Kaplansky quando houver a restrição explícita de não adjacência.

FAQ: perguntas sobre os Lemas de Kaplansky

O que dizem os Lemas de Kaplansky?

Eles contam de quantas formas escolher p elementos entre n sem que dois sejam consecutivos: o primeiro para elementos em fila, o segundo para elementos em círculo.

Qual é a fórmula do primeiro lema?

$K (n, p) = (\binom{n - p + 1}{p})$ , válida quando os elementos estão alinhados.

Qual é a fórmula do segundo lema?

$K^{*} (n, p) = \frac{n}{n - p} (\binom{n - p}{p})$ , para elementos dispostos em círculo.

Como se demonstra o primeiro lema?

Observando que os $n - p$ elementos não escolhidos criam $n - p + 1$ espaços, e que cada espaço pode receber no máximo um elemento escolhido. Basta escolher p espaços.

Por que o resultado circular é menor?

Porque no círculo o primeiro e o último elemento também são vizinhos, o que proíbe escolhas que seriam válidas na fila.

Quando usar cada lema?

Pela disposição: fila, prateleira e calendário linear pedem o primeiro; mesa redonda, pulseira e polígono pedem o segundo.

Onde esses lemas aparecem em prova?

Em problemas de assentos sem pessoas lado a lado, escalas sem dias consecutivos e seleção de itens não adjacentes. São conteúdo típico de ITA e IME.

E se a adjacência for permitida?

Aí a resposta é simplesmente a combinação simples $(\binom{n}{p})$ , sem necessidade dos lemas.

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Confundir n com p na fórmula

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