Gravidade no interior da Terra: fórmula g = g₀·r/R explicada

Q: Por que a gravidade é zero no centro da Terra?

Porque as atrações em todas as direções se cancelam por simetria.

Q: O que é o teorema das cascas?

O resultado de que uma casca esférica não exerce força sobre corpos internos e atrai externos como massa pontual.

Q: Por que o crescimento é linear e não quadrático?

Porque a massa interna cresce com r³ e o campo cai com r².

Q: O que aconteceria num túnel atravessando a Terra?

Um corpo oscilaria em movimento harmônico simples, com período de cerca de 84 minutos.

Q: A fórmula vale para a Terra real?

Só aproximadamente, pois a densidade não é uniforme.

Q: Qual a diferença entre o comportamento dentro e fora?

Dentro é linear em r; fora cai com 1/r².

Qual é a fórmula da gravidade no interior?

Para um ponto a uma distância r do centro de um planeta homogêneo de raio R:

Gravidade no interior

g = g_{0} \frac{r}{R} (r \leq R)

Linear em r: vale zero no centro e cresce até g₀ na superfície. Fora do planeta, volta a valer a lei do inverso do quadrado.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

O g₀ é a gravidade na superfície, o valor conhecido de 9,8 m/s²:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$g$	gravidade a uma distância r do centro	m/s²
$g_{0}$	gravidade na superfície	«K: \approx 9{,}8 » m/s²
$r$	distância ao centro do planeta	metro (m)
$R$	raio do planeta	metro (m)

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? De um resultado notável de Newton, o teorema das cascas. Ele diz duas coisas, e a segunda é a que interessa aqui.

Primeira: uma casca esférica de matéria atrai um corpo externo como se toda a massa dela estivesse concentrada no centro. Segunda — a surpreendente: dentro de uma casca esférica, o campo gravitacional é exatamente zero. Todas as contribuições se cancelam.

Então, se você está a uma distância r do centro, toda a matéria que está acima de você — as cascas de raio maior que r — não exerce força alguma. Só conta a esfera interna de raio r. E a massa dessa esfera é proporcional ao volume dela, ou seja, a $r^{3}$ :

Dedução · só a massa interna conta

M (r) = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \Rightarrow g = \frac{G M (r)}{r^{2}} = \frac{G ρ \frac{4}{3} π r^{3}}{r^{2}} = \frac{4}{3} π G ρ r

O r³ da massa cancela o r² do denominador e sobra um r. Por isso o crescimento é linear, não quadrático.

Escrevendo em função de g₀

g_{0} = \frac{4}{3} π G ρ R \Rightarrow \frac{g}{g_{0}} = \frac{r}{R} \Rightarrow g = g_{0} \frac{r}{R}

Dividindo o campo em r pelo campo na superfície, as constantes somem e sobra a razão dos raios.

O comportamento completo, portanto, tem duas metades. De dentro para fora, o campo cresce linearmente de zero até $g_{0}$ . A partir da superfície, ele decresce com $1 / r^{2}$ . O máximo acontece exatamente na superfície — que é onde nós vivemos. Você pode estar pensando: “por que zero no centro?” Porque ali você é puxado igualmente em todas as direções, e a soma vetorial se anula. Não é ausência de matéria; é simetria perfeita. Há uma consequência elegante para o problema clássico do túnel atravessando a Terra. Como a força é proporcional à distância ao centro e aponta sempre para ele, ela tem exatamente a forma de uma força elástica — $F = - k x$ . Um corpo solto no túnel executaria um movimento harmônico simples, oscilando de um lado ao outro do planeta indefinidamente, com período de cerca de 84 minutos. Curiosamente, é o mesmo período de um satélite em órbita rasante. Uma ressalva de honestidade: a fórmula supõe densidade uniforme. A Terra real tem núcleo muito mais denso que o manto, e por isso a gravidade não cai linearmente logo abaixo da superfície — ela chega a aumentar um pouco antes de começar a cair, atingindo o máximo em torno do limite núcleo-manto. Selo Demonstrável.

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Quando usar (e quando não)?

Use em problemas de túnel através do planeta, poços profundos, minas e questões conceituais sobre variação do campo gravitacional.

Também para entender a estrutura de estrelas e planetas, onde a gravidade interna determina o equilíbrio contra a pressão.

A fórmula supõe densidade UNIFORME. Na Terra real, o núcleo é muito mais denso e o campo não decresce linearmente logo abaixo da superfície.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: a relação é linear, então a metade do raio deve dar exatamente metade da gravidade da superfície — cerca de 4,9 m/s²:

🪖 IntermediárioDescendo em direção ao centro

(a) Qual a gravidade a meio caminho do centro da Terra? (b) E no centro? (c) A que profundidade a gravidade vale 1/4 da da superfície? (g₀ = 9,8 m/s², R = 6.371 km)

(a) $r = R / 2 \Rightarrow g = 9, 8 \cdot 0, 5 = 4, 9 {m/s}^{2}$ .
(b) $r = 0 \Rightarrow g = 0$ — puxado igualmente para todos os lados.
(c) $g / g_{0} = 1 / 4 \Rightarrow r / R = 1 / 4 \Rightarrow r = 1593 km$ .
Profundidade: $6371 - 1593 = 4778 km$ .

(a)

4, 9

m/s² · (b) zero · (c) a

4778

km de profundidade

Verificação: bateu com a previsão em (a) — metade do raio, metade da gravidade, como a linearidade exige. Compare com o comportamento externo: para ter 1/4 da gravidade do lado de FORA, seria preciso ir ao dobro do raio, ou seja, 6.371 km de altitude. Dentro, basta chegar a um quarto do raio. As duas metades da curva se comportam de modos completamente diferentes.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar a lei do inverso do quadrado dentro do planeta
Dentro, o campo cresce LINEARMENTE com r. A lei $1 / r^{2}$ só vale do lado de fora.
Como evitar: pergunte se o ponto está dentro ou fora. São fórmulas diferentes.
02
Achar que a gravidade é máxima no centro
Ela é ZERO no centro, por simetria. O máximo ocorre na superfície.
Como evitar: no centro você é puxado igualmente para todos os lados, e as forças se cancelam.
03
Contar a massa acima da sua posição
Pelo teorema das cascas, a matéria externa à sua posição não exerce força resultante. Só conta a esfera interna.
Como evitar: é um resultado contraintuitivo mas exato: dentro de uma casca esférica, o campo é nulo.

FAQ: perguntas sobre a gravidade no interior da Terra

Qual é a fórmula da gravidade no interior de um planeta?

$g = g_{0} \cdot r / R$ , linear em r. Ela vale zero no centro e cresce até $g_{0}$ na superfície.

Por que a gravidade é zero no centro da Terra?

Porque ali você é atraído igualmente em todas as direções, e a soma vetorial de todas as forças se anula por simetria.

O que é o teorema das cascas?

Um resultado de Newton segundo o qual uma casca esférica atrai um corpo externo como se toda a massa estivesse no centro, e não exerce força alguma sobre um corpo interno.

Por que o crescimento é linear e não quadrático?

Porque a massa interna cresce com $r^{3}$ enquanto o campo cai com $r^{2}$ . A divisão deixa um r, e o resultado é linear.

Onde a gravidade é máxima?

Na superfície do planeta. Dentro ela cresce linearmente até ali, e fora decresce com o inverso do quadrado da distância.

O que aconteceria num túnel atravessando a Terra?

Um corpo solto executaria movimento harmônico simples, oscilando de um lado ao outro com período de cerca de 84 minutos — porque a força é proporcional à distância ao centro.

A fórmula vale para a Terra real?

Só aproximadamente. Ela supõe densidade uniforme, mas o núcleo terrestre é muito mais denso que o manto, o que altera o perfil do campo.

Qual a diferença entre o comportamento dentro e fora?

Dentro, g cresce linearmente com r. Fora, decresce com $1 / r^{2}$ . As duas curvas se encontram exatamente na superfície.

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Gravidade no interior: g = g₀·r/R

Qual é a fórmula da gravidade no interior?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar a lei do inverso do quadrado dentro do planeta

Achar que a gravidade é máxima no centro

Contar a massa acima da sua posição

FAQ: perguntas sobre a gravidade no interior da Terra

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