Moda, Média e Mediana: as três medidas de tendência central.

O que são moda, média e mediana?

Moda, média e mediana são três jeitos diferentes de responder à mesma pergunta: qual valor representa esse monte de números?

A média é o ponto de equilíbrio, você soma tudo e divide pela quantidade. A mediana é o valor que fica bem no meio quando você ordena os dados. E a moda é simplesmente o que mais aparece. Parecem sinônimos, mas medem coisas diferentes. E é justamente por confundir as três que você troca uma pela outra na prova.

Aqui eu te mostro as três sobre o mesmo conjunto de notas, com a fórmula e o cálculo de cada uma. No fim você leva um quadro fechado pra não errar mais qual usar. A régua é a de sempre: entender o que cada medida está dizendo, beleza?, não decorar três fórmulas soltas.

Como calcular a média aritmética?

A média é a conta que todo mundo já conhece: soma todos os valores e divide pela quantidade deles.

Se um aluno tirou 7, 8, 8, 9 e 10 em cinco provas, a média é $\frac{7+8+8+9+10}{5} = \frac{42}{5} = 8{,}4$. Em fórmula:

Mas repara no que a média realmente faz. Ela acha o ponto onde os dados se equilibram, como se cada número puxasse uma gangorra. Por isso ela é tão sensível a um valor muito alto ou muito baixo: um extremo desloca o equilíbrio inteiro.

Como calcular a mediana?

A mediana é o valor que fica exatamente no meio dos dados depois que você os coloca em ordem. E o segredo é esse "depois de ordenar", que muita gente esquece.

Com as cinco notas 7, 8, 8, 9, 10 já ordenadas, o valor central é o terceiro: a mediana é 8. A posição do meio sai da fórmula $\frac{n+1}{2}$, que para $n = 5$ dá a 3ª posição.

E quando a quantidade é par? Aí não existe um único elemento central, então você pega os dois do meio e faz a média deles. Para 4, 6, 7, 9, a mediana é $\frac{6+7}{2} = 6{,}5$.

1. í

   Quantidade ímpar

   Existe um único valor no centro. A posição é $\frac{n+1}{2}$ e a mediana é o valor que ocupa essa posição. Em 7, 8, 8, 9, 10, é o 3º termo: 8.

2. p

   Quantidade par

   Não há um único centro. Você toma os dois valores do meio e tira a média deles. Em 4, 6, 7, 9, os centrais são 6 e 7, então a mediana é $\frac{6+7}{2} = 6{,}5$.

Repara que a mediana não liga para o tamanho dos extremos: ela só conta posição. É essa indiferença aos valores extremos que vai torná-la a medida mais honesta quando os dados têm um ponto fora da curva.

Como calcular a moda?

A moda é a mais fácil de todas: é o valor que mais se repete, ponto.

Nas notas 7, 8, 8, 9, 10, o número que aparece mais vezes é o 8, então a moda é 8. Só toma cuidado com três situações:

Quando elas coincidem e quando divergem?

Agora junta tudo no mesmo conjunto e olha o que acontece.

Nas notas 7, 8, 8, 9, 10, a média deu 8,4, a mediana deu 8 e a moda deu 8, as três bem juntinhas. Isso não é coincidência: quando os dados são mais ou menos simétricos, as três medidas caem perto umas das outras. Agora troca uma nota por um extremo. Imagina que em vez de 10 o aluno tirou 0 numa prova: a média despenca para 6,4, a mediana continua 8 e a moda continua 8.

Foi só um número fora da curva e a média se mexeu sozinha, enquanto as outras duas nem piscaram. É essa a sacada que nenhum site coloca lado a lado: as três medindo o mesmo conjunto deixam claro que elas só concordam quando a distribuição é simétrica. Quando há um extremo, cada uma conta uma história diferente.

Quando a média engana?

Pensa numa sala com nove pessoas que ganham R$ 2.000 e uma décima que ganha R$ 200.000.

A média salarial dessa sala passa de R$ 21.000, um número que não representa ninguém ali: nem os nove que ganham pouco, nem o que ganha muito. A mediana, que é o salário do meio, continua R$ 2.000 e conta a verdade sobre a maioria.

É por isso que renda, preço de imóvel e tempo de espera quase sempre são reportados pela mediana, não pela média, são dados onde um extremo distorce tudo. A regra prática: quando os dados têm um ponto fora da curva, desconfia da média e olha a mediana.

Qual medida usar em cada caso?

Fecha na cabeça com um quadro que cabe num cartão de revisão:

Como cai no ENEM? Exercícios resolvidos

Agora a parte que separa quem leu de quem aprendeu: resolver questão de prova. As bancas adoram dois tipos de pegadinha aqui, a que pede um cálculo direto e a que cobra a decisão de qual medida usar. Em toda questão eu mostro o passo a passo. Primeiro identifica o que a questão quer, beleza?, depois ordena ou soma conforme a medida, e só então fecha a conta. O ENEM 2010 e bancas como a FCC já cobraram exatamente isso.

Se você resolver essas comigo e entender por que cada passo existe, você não vai mais travar na hora de decidir se a resposta é média, mediana ou moda. Que é onde a maioria perde ponto.

O que é dispersão e por que importa?

Tem uma armadilha em parar nas três medidas centrais: duas turmas podem ter a mesma média e serem completamente diferentes.

Imagina uma turma onde todo mundo tirou perto de 7, e outra onde metade tirou 2 e metade tirou 10. As duas têm média 6, mas não se parecem em nada. O que diferencia uma da outra não é a tendência central, é a dispersão: o quanto os dados se espalham em torno do centro. É aí que entram desvio padrão e variância, eles medem esse espalhamento.

Centralidade sozinha conta metade da história. No próximo passo eu te mostro como medir a dispersão.

FAQ: Perguntas frequentes sobre as três medidas