O que é desvio padrão? Entenda a definição, a fórmula e como calcular sem decorar.

O que é desvio padrão?

Desvio padrão é o número que mede o quanto os dados de um conjunto se espalham em torno da média: quanto maior, mais espalhados; quanto menor, mais grudados na média. Não é a média, é o quanto a turma se afasta dela, e esse é o conceito inteiro, antes de qualquer fórmula.

Pensa comigo em duas provas com a mesma média 6. Numa, todo mundo tirou perto de 6. Na outra, metade tirou 2 e metade tirou 10. Mesma média, realidades opostas, e é exatamente essa diferença que o desvio padrão captura num número só.

A média te diz onde está o centro. O desvio padrão te diz se a turma está colada nesse centro ou esparramada longe dele. Desvio alto, dados dispersos; desvio baixo, dados concentrados.

Essa página inteira parte daqui: primeiro você sente o que o número quer dizer, depois a gente deduz a fórmula e calcula passo a passo. Sem decoreba. O vídeo aqui do lado é meu, do canal, e fala da família das médias; ele entra como pano de fundo do tema, com mais de 1 milhão de inscritos acompanhando esse tipo de conversa por lá.

Mesma média, dispersões diferentes?

Dois conjuntos podem ter a mesma média e nada a ver um com o outro, e é aí que o desvio padrão mostra pra que serve. Pega o grupo A com notas 5, 6, 6, 7 e o grupo B com notas 1, 3, 9, 11:

Mesma média, dois mundos. O desvio padrão do A é pequeno; o do B é grande. A média sozinha mente: ela diz onde está o centro, mas não diz se a turma está perto ou longe dele. O desvio padrão é o número que separa esses dois mundos.

Guarda esses dois grupos, beleza? Mais pra frente a gente calcula o desvio dos dois e vê a diferença em número. Se quiser revisar o centro antes, dá uma olhada na Média aritmética

Qual é a fórmula do desvio padrão?

A fórmula do desvio padrão amostral é $s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$, e ela assusta só até você ler da direita pra esquerda. Vem comigo, símbolo por símbolo:

Como calcular o desvio padrão?

Pra calcular o desvio padrão das notas 4, 6, 6, 8, você segue seis passos com número na frente, beleza? Sem "aplique a fórmula" no vácuo:

1. Média: $(4+6+6+8)/4 = 6$.
2. Diferenças pra média: $-2,\ 0,\ 0,\ 2$.
3. Cada diferença ao quadrado: $4,\ 0,\ 0,\ 4$.
4. Soma: $8$.
5. Divide por $n-1 = 3$ (é uma amostra): $8/3 \approx 2{,}67$, isso é a variância.
6. Tira a raiz: $\sqrt{2{,}67} \approx 1{,}63$.

Pronto. Repara que cada passo aconteceu com número na frente. É assim que você não se perde na hora da prova.

Por que elevamos ao quadrado?

A gente eleva as diferenças ao quadrado porque, se somasse as diferenças cruas, elas se cancelariam. No exemplo das notas, $-2 + 0 + 0 + 2 = 0$, e daria desvio zero pra um conjunto que claramente varia.

E a raiz no fim? É a volta pra casa: depois de elevar ao quadrado pra fazer a conta funcionar, a gente desfaz o quadrado pra voltar à unidade dos dados.

Entender esse porquê é o que faz você nunca mais esquecer a fórmula. Memorizar um primata faz. O que segura a fórmula na cabeça é saber por que cada peça está ali.

Desvio padrão ou variância?

Desvio padrão e variância são a mesma ideia em duas embalagens: a variância é a média dos quadrados dos afastamentos, e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. No exemplo das notas, a variância deu $\approx 2{,}67$ e o desvio padrão deu $\approx 1{,}63$. Agora repara na unidade, que é onde mora a diferença que importa:

A variância está em ponto AO QUADRADO, uma unidade que não dá pra interpretar. O desvio padrão volta pra ponto, a mesma unidade das notas. Por isso a gente prefere o desvio padrão pra falar de espalhamento: ele responde "a turma está, em média, a quantos pontos da média?" numa unidade que faz sentido.

Divido por n ou por n−1?

Você divide por $n$ quando tem a população inteira e por $n-1$ quando tem só uma amostra, e o porquê do $n-1$ é o que ninguém te conta.

O motivo do $n-1$ é o seguinte: quando você usa a média da própria amostra em vez da média verdadeira da população, que você não conhece, você subestima o espalhamento de leve. A amostra parece sempre um pouquinho mais grudada do que a população real. Dividir por $n-1$ aumenta um tiquinho o resultado e conserta essa subestimação.

Desvio padrão e a curva normal

Quando os dados seguem uma distribuição normal, a famosa curva de sino, que aparece em altura, peso e notas de uma prova grande, o desvio padrão ganha um superpoder de leitura:

• 68%

  Um desvio padrão

  Cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média.

• 95%

  Dois desvios padrão

  Cerca de 95% dos valores ficam a até dois desvios padrão da média.

É essa regra que faz o desvio padrão ser tão usado: com um número só, você já sabe a faixa onde a grande maioria dos dados vive. A curva normal é o palco onde o desvio padrão mostra pra que veio, deixando de ser uma conta e virando um mapa de onde os dados se concentram.

Desvio padrão cai na prova?

Cai, sim. Numa questão de vestibular você recebe um conjunto pequeno e o enunciado pede o desvio padrão, por exemplo os tempos 10, 12, 14, 16 segundos de quatro corredores. O caminho é o mesmo que a gente treinou:

Resolver uma questão de verdade, e não um exemplo de pesquisa de satisfação, é o que prepara você pro dia da prova.

Onde o desvio padrão aparece?

O desvio padrão aparece em todo lugar onde alguém precisa saber se os dados são confiáveis ou bagunçados, não só na prova. Olha onde ele se esconde:

1. 01

   Controle de qualidade

   Um desvio padrão pequeno nas medidas de uma peça significa produção consistente; um grande significa que algo na linha saiu do controle.

2. 02

   Finanças

   O desvio padrão dos retornos de um investimento é a própria medida de risco: quanto maior, mais o investimento balança.

3. 03

   Saúde

   Ele aparece nas faixas de referência dos exames, separando o que é normal do que foge do padrão.

4. 04

   Escola

   É o que separa uma turma homogênea de uma turma desigual com a mesma média.

FAQ sobre desvio padrão