Matrizes: o que é, tipos e como multiplicar, deduzido do zero.

Uma matriz, na matemática, é uma lista de números organizada em linhas e colunas, no formato $m \times n$, ou seja, $m$ linhas por $n$ colunas. Uma matriz 2 por 2 tem duas linhas e duas colunas, e cada número guarda uma posição fixa dentro dessa tabela.

Mas a sacada que faz tudo encaixar vem agora: essa tabela é só uma notação compacta para representar sistemas lineares. É daí que ela ganha sentido, antes disso, é só uma lista de números, e parece um negócio totalmente aleatório.

Fala verdade, você nunca entendeu direito como é que essa jossa de matrizes funciona, em particular o produto de matrizes. Parece um negócio totalmente aleatório e nada intuitivo a forma como é definida o produto de matrizes. E a culpa não é sua, quase todo mundo te mandou decorar a regra sem nunca mostrar de onde ela vem.

Aqui a gente vai do começo e constrói cada regra, sem decoreba. Tem até uma diferença que importa: nesta página toda matriz é texto em KaTeX, selecionável e legível, ao contrário dos portais que jogam a matemática como imagem.

Para achar qualquer número na matriz, você usa um esquema de dois índices. $a_{11}$ é o termo da linha 1 com a coluna 1, $a_{12}$ linha 1 com coluna 2, $a_{13}$ linha 1 com coluna 3, $a_{21}$ linha 2 com coluna 1, e por aí vai.

O macete é simples: o primeiro índice sempre é a linha, o segundo sempre é a coluna. Sacou? Essa é a leitura do $a_{ij}$, e ela não muda nunca. A ordem da matriz segue a mesma lógica, uma matriz $N$ por $P$ tem $N$ linhas e $P$ colunas, nessa ordem: linhas primeiro, colunas depois.

Decorar isso um primata faz. O que importa é você ler o $a_{ij}$ sem pensar, porque ele vai voltar em toda operação daqui pra frente: na soma, na multiplicação e na transposta.

Os tipos de matriz que mais aparecem são poucos, e cada um tem um papel concreto. Vale conhecer a função de cada um antes de operar:

Quando eu transpone a matriz, a coluna 1 vira a linha 1, e assim por diante. Não é lista pra decorar: cada tipo reaparece com função própria nas operações e na inversa, a identidade e a transposta, em especial, voltam quando a gente chega na matriz inversa.

Somar matrizes é termo a termo, e a melhor parte é entender de onde que vem essa regra de soma de matrizes? Ela vem simplesmente de você somar dois sistemas lineares, de você somar equações.

Lembra que a matriz é a forma compacta de escrever os coeficientes de um sistema? Então, quando você soma duas matrizes da mesma ordem, está somando os dois sistemas equação por equação. Por isso o resultado sai posição por posição: cada $a_{ij}$ de uma com o $a_{ij}$ correspondente da outra. A subtração é a mesma ideia, só trocando o sinal.

A condição também cai sozinha. Só dá pra somar matrizes de mesma ordem, porque só dá pra somar sistemas com a mesma estrutura. Você não decora "casinha com casinha", você vê por que tinha que ser assim.

A multiplicação de matrizes é "linha por coluna" porque, na verdade, o que você conhece como produto de matrizes não é bem um produto, é uma composição de matrizes. E a conta é feita dessa forma sem entender o porquê.

Essa é a sacada que faz a regra parar de ser aleatória. Quando você multiplica a matriz A pela matriz B, está compondo dois sistemas lineares, um dentro do outro, como o preço do pão de queijo, que depende do queijo, que por sua vez depende do leite. É essa composição que obriga cada linha de A a casar com cada coluna de B, termo a termo.

E daí saem as duas coisas que mais confundem:

• +

  A condição de existência: o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B. Senão o casamento não fecha e a composição não existe.

• −

  A não-comutatividade: compor A depois de B é diferente de compor B depois de A, igual à ordem de duas funções. Por isso A vezes B em geral não é igual a B vezes A.

A inversa de uma matriz é a mesma ideia do inverso de um número, e isso desmistifica tudo. Qual que é o inverso do número 3? É o número que multiplicado por 3 dá o elemento identidade, que é 1 nos números reais, ou seja, 1 terço.

Com matriz é igual: a inversa de A é a matriz que, multiplicada por A, dá a identidade, o "1" das matrizes.

A transposta entra aqui porque, em casos especiais, ela é a própria inversa. Existe uma matriz muito especial cuja transposta, quando você troca as linhas por colunas, é igual à sua inversa, chamada de matriz ortogonal. A matriz de rotação é o exemplo clássico: $R$ vezes $R^{T}$ dá a identidade.

Matriz serve, primeiro, para representar um sistema linear inteiro de forma compacta. Aquela matriz A, ela se torna um jeito mais compacto, mais enxugado de eu representar esse sistema linear aqui: em vez de carregar nove coeficientes repetindo X, Y e Z em três equações, você guarda só os números numa tabela e manipula tudo como um objeto só.

A segunda aplicação aparece na geometria. Dá pra usar uma matriz pra rotacionar eixos e relacionar as coordenadas de um mesmo ponto entre dois sistemas. Essas relações entre as coordenadas são dadas pela matriz que eu chamo de $R$, a matriz de rotação, que tem a ver com o ângulo de giro.

É a mesma estrutura que aparece em computação gráfica e em transformações geométricas. Sempre que você precisa transformar um conjunto de coordenadas, tem uma matriz por trás, por isso ela é a língua de tantas áreas além da matemática pura.

Resolver matriz passo a passo é fazer a conta entrada por entrada, do jeito certo. No produto matricial é o elemento termo a termo então você vai ter que ó cosseno multiplicando por cosseno será o quadrado seno multiplicando por seno será o quadrado e soma isso.

É exatamente assim que eu provo que a matriz de rotação vezes a sua transposta dá a identidade, cada entrada da matriz resultante sai de uma linha vezes uma coluna, somada termo a termo, e no fim cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado dá 1.

Num segundo exercício, somar e compor dois sistemas 3 por 3 mostra as duas operações com números de verdade: a soma sai termo a termo, e o produto sai da composição dos sistemas. Cada passo aparece em KaTeX, selecionável, pra você acompanhar a conta, e não só olhar uma imagem pronta como nos portais.