Velocidade de escape: v = √(2GM/R)

Qual é a fórmula da velocidade de escape?

Para escapar do campo gravitacional de um corpo de massa M, partindo da superfície de raio R:

O que significa cada símbolo?

Nenhum símbolo se refere ao corpo que escapa — e isso não é acidente:

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: como chegamos aqui? Por conservação de energia, e a chave está em entender o que significa “escapar”.

Escapar quer dizer chegar infinitamente longe — onde a energia potencial gravitacional é zero — com velocidade final também zero, no caso limite. Ou seja: a energia mecânica total precisa ser exatamente zero.

A energia potencial gravitacional na forma geral é $E_p=-GMm\mathrm{/}R$, negativa (a ficha de energia potencial gravitacional geral explica o porquê do sinal). Impondo energia total nula:

O cancelamento do m diz algo forte: a velocidade de escape é a mesma para uma pedra e para um foguete. Não é uma questão de força, e sim de energia inicial. Você pode estar pensando: “mas foguetes não atingem 11,2 km/s ao decolar — como eles escapam?” Porque a fórmula supõe um único impulso inicial, como um tiro de canhão. Foguetes trapaceiam: eles empurram continuamente, ganhando energia ao longo do caminho. A velocidade de escape é o requisito para quem não tem motor depois do lançamento. E agora a consequência mais famosa. Se um corpo for suficientemente massivo e compacto, o R fica tão pequeno que $v_E$ ultrapassa a velocidade da luz. Nada pode escapar — nem a luz. Isso é um buraco negro, e o raio em que isso acontece, $R_s=2GM\mathrm{/}{c}^2$, é o raio de Schwarzschild. A conta ingênua com física newtoniana dá o valor certo, ainda que a explicação correta exija relatividade geral. Selo Demonstrável.

Quando usar (e quando não)?

Use para calcular a velocidade mínima de escape de planetas, luas e estrelas, e para comparar a capacidade de um corpo celeste de reter atmosfera — corpos com baixa velocidade de escape perdem seus gases para o espaço.

É essa a razão física de a Lua não ter atmosfera: com $v_E\approx 2,4$ km/s, as moléculas de gás atingem essa velocidade com facilidade e escapam.

Exemplo resolvido

Antes das contas, prevê: a velocidade de escape é √2 vezes a orbital rasante. Como a orbital perto da superfície da Terra é ~7,9 km/s, a de escape deve ficar em torno de 11 km/s. E na Lua, muito menor:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Confundir com a velocidade orbital

   A de escape é $\sqrt{2}$ vezes maior que a orbital no mesmo raio. Orbitar é ficar preso; escapar é ir embora.

   Como evitar: o 2 no numerador é a única diferença entre as fórmulas. Ele vale um fator √2 ≈ 1,41.
2. 02

   Incluir a massa do projétil

   Ela cancela na dedução. Pedra e foguete precisam da mesma velocidade de escape.

   Como evitar: se a massa do corpo lançado apareceu na resposta, houve erro de álgebra.
3. 03

   Achar que foguetes precisam atingir 11,2 km/s no lançamento

   Não precisam: eles têm propulsão contínua e ganham energia ao longo da subida. A fórmula vale para um impulso único, sem motor depois.

   Como evitar: a velocidade de escape é requisito para projéteis balísticos, não para veículos propulsados.

FAQ: perguntas sobre a velocidade de escape