Triângulo de Pascal: como construir e propriedades

Q: O que é o Triângulo de Pascal?

Um arranjo em que cada entrada é C(n,p) e cada número é a soma dos dois acima.

Q: O que diz a relação de Stifel?

Que C(n,p) + C(n,p+1) = C(n+1,p+1).

Q: Como se demonstra a relação de Stifel?

Separando um elemento e somando os casos em que ele é ou não escolhido.

Q: Quanto vale a soma de uma linha?

2ⁿ, o número total de subconjuntos.

Q: Qual a relação com o Binômio de Newton?

Os números da linha n são os coeficientes de (a+b)ⁿ.

Q: Por que combinações aparecem na expansão de um binômio?

Porque cada termo vem de escolher a ou b em cada um dos n fatores.

Q: As linhas começam a contar em 0 ou em 1?

Em zero: a linha 0 é apenas o número 1.

O que é o Triângulo de Pascal?

Cada entrada do triângulo, na linha n e posição p (ambas contadas a partir de zero):

Entrada do triângulo

a_{n, p} = (\binom{n}{p}) = \frac{n!}{p! (n - p)!}

Cada número do triângulo é uma combinação. A linha n tem n+1 entradas, de p = 0 até p = n.

Relação de Stifel · a regra de construção

(\binom{n}{p}) + (\binom{n}{p + 1}) = (\binom{n + 1}{p + 1})

Dois números vizinhos somam o número abaixo deles. É o que permite construir o triângulo sem calcular fatoriais.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Linhas e posições começam em zero — a linha 0 é apenas o número 1:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	número da linha, a partir de 0	natural
$p$	posição na linha, a partir de 0	de 0 a n
$(\binom{n}{p})$	combinação de n elementos tomados p a p	natural

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: por que somar dois números dá o de baixo? A relação de Stifel tem uma explicação combinatória bonita, que dispensa álgebra.

Queremos escolher $p + 1$ elementos de um grupo de $n + 1$ . Separe um elemento específico — chame de X — e pense em duas possibilidades exclusivas:

Ou X está entre os escolhidos, e aí faltam $p$ elementos a escolher entre os $n$ restantes: $(\binom{n}{p})$ maneiras. Ou X não está, e aí é preciso escolher os $p + 1$ entre os $n$ restantes: $(\binom{n}{p + 1})$ maneiras.

Como os dois casos cobrem todas as possibilidades e não se sobrepõem, basta somar. E está provada a relação de Stifel — sem manipular um único fatorial.

As primeiras linhas

\begin{array}{c} 1 \\ 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 3 3 1 \\ 1 4 6 4 1 \\ 1 5 10 10 5 1 \end{array}

Cada número interno é a soma dos dois acima. As bordas são sempre 1, porque há uma única forma de escolher nenhum ou todos.

O triângulo carrega várias propriedades que caem em prova: Soma da linha n = $2^{n}$ . A linha 4 soma $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ . Faz sentido: somar todas as combinações de n elementos é contar todos os subconjuntos possíveis, que são $2^{n}$ . Simetria. $(\binom{n}{p}) = (\binom{n}{n - p})$ , porque escolher p elementos é o mesmo que decidir quais $n - p$ ficam de fora. Bordas sempre 1. Há exatamente uma forma de não escolher nada e uma de escolher tudo. E a conexão que dá sentido a tudo: os números da linha n são exatamente os coeficientes de $(a + b)^{n}$ . A linha 3 — 1, 3, 3, 1 — dá $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Você pode estar pensando: “por que combinações aparecem numa expansão algébrica?” Porque ao multiplicar $(a + b)$ por si mesmo n vezes, cada termo do resultado vem de escolher a ou b em cada um dos n fatores. O coeficiente de $a^{n - p} b^{p}$ conta de quantas formas se pode escolher o b em exatamente p dos fatores — que é $(\binom{n}{p})$ . Contar e expandir são a mesma operação. É por isso que o triângulo funciona. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use para expandir binômios de expoente pequeno sem calcular fatoriais, para obter combinações rapidamente e em problemas de probabilidade binomial.

Na prática, montar o triângulo até a linha desejada costuma ser mais rápido que calcular $(\binom{n}{p})$ diretamente, para n pequeno.

Linhas e posições começam em ZERO. A linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1 — a quinta linha escrita, mas a de índice 4. Contar a partir de 1 desloca todas as respostas.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: a soma de cada linha deve dobrar a cada nível, seguindo 1, 2, 4, 8, 16... Se alguma linha não bater com uma potência de 2, houve erro na construção:

🪖 BásicoConstruindo e usando o triângulo

(a) Construa o triângulo até a linha 5. (b) Verifique a relação de Stifel entre as linhas 5 e 6. (c) Use a linha 4 para expandir $(a + b)^{4}$ .

(a) Linhas 0 a 5: $1$ ; $1 1$ ; $1 2 1$ ; $1 3 3 1$ ; $1 4 6 4 1$ ; $1 5 10 10 5 1$ .
Somas: $1, 2, 4, 8, 16, 32$ — as potências de 2 ✓
(b) $(\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3}) = 10 + 10 = 20 = (\binom{6}{3})$ ✓
(c) Linha 4 dá os coeficientes: $(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ .

Linha 5 =

1, 5, 10, 10, 5, 1

· Stifel confirmada ·

(a + b)^{4}

expandido pela linha 4

Verificação: as somas bateram com as potências de 2 em todas as linhas ✓, e Stifel fechou exatamente. Repara na simetria de cada linha — ela reflete o fato de que $(\binom{n}{p}) = (\binom{n}{n - p})$ . E a linha 6? Somando os vizinhos da linha 5: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 — que soma 64 = $2^{6}$ ✓.

Quais os erros mais comuns?

01
Começar a contar as linhas em 1
A primeira linha é a de índice 0. A linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1 — a quinta escrita, mas de índice 4.
Como evitar: o índice da linha é o expoente do binômio correspondente.
02
Esquecer que as bordas são sempre 1
Cada linha começa e termina em 1, porque $(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ .
Como evitar: há uma única maneira de escolher nada, e uma única de escolher tudo.
03
Somar números não adjacentes
A relação de Stifel soma dois números VIZINHOS de uma linha para obter o de baixo, entre eles.
Como evitar: desenhe as setas: cada número recebe contribuição dos dois imediatamente acima.

FAQ: perguntas sobre o Triângulo de Pascal

O que é o Triângulo de Pascal?

Um arranjo triangular em que cada entrada é uma combinação $(\binom{n}{p})$ , e cada número interno é a soma dos dois acima dele.

O que diz a relação de Stifel?

Que $(\binom{n}{p}) + (\binom{n}{p + 1}) = (\binom{n + 1}{p + 1})$ — dois vizinhos somam o número abaixo deles. É a regra de construção do triângulo.

Como se demonstra a relação de Stifel?

Separando um elemento específico: ou ele está entre os escolhidos, ou não está. Somando os dois casos, obtém-se a relação — sem nenhum fatorial.

Quanto vale a soma de uma linha?

$2^{n}$ , onde n é o índice da linha. Isso equivale a contar todos os subconjuntos de um conjunto de n elementos.

Por que o triângulo é simétrico?

Porque $(\binom{n}{p}) = (\binom{n}{n - p})$ : escolher p elementos é equivalente a decidir quais $n - p$ ficam de fora.

Qual a relação com o Binômio de Newton?

Os números da linha n são exatamente os coeficientes de $(a + b)^{n}$ . A linha 3, por exemplo, dá $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Por que combinações aparecem na expansão de um binômio?

Porque ao multiplicar $(a + b)$ n vezes, cada termo vem de escolher a ou b em cada fator. O coeficiente conta de quantas formas escolher b em exatamente p fatores.

As linhas começam a contar em 0 ou em 1?

Em zero. A linha 0 é apenas o número 1, e a linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1.

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Triângulo de Pascal: a_np = C(n,p)

O que é o Triângulo de Pascal?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Começar a contar as linhas em 1

Esquecer que as bordas são sempre 1

Somar números não adjacentes

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