Binômio de Newton: o termo geral e o Triângulo de Pascal

Q: Qual é a fórmula do termo geral do Binômio de Newton?

T(p+1) = C(n,p)·a^(n−p)·b^p, com p de 0 a n.

Q: De onde vêm os coeficientes binomiais?

De contagem: são as formas de escolher quais p parênteses contribuem com b na expansão.

Q: Qual a relação com o Triângulo de Pascal?

Cada número do triângulo é um coeficiente binomial; a linha n traz os coeficientes de (a+b)^n.

Q: Por que o termo é T(p+1) e não T(p)?

Porque p começa em zero e a posição começa em um; o k-ésimo termo usa p = k − 1.

Q: Como achar o termo independente de x?

Igualando a zero o expoente total de x no termo geral e resolvendo para p.

Q: Como fica o sinal em (a − b)ⁿ?

Os sinais alternam: positivo para p par, negativo para p ímpar.

Q: Qual a soma de todos os coeficientes de (a+b)ⁿ?

É 2^n, obtida fazendo a = b = 1.

Qual é a fórmula do Binômio de Newton?

A expansão completa e a fórmula do termo geral, que é a mais útil na prova:

Termo geral da expansão

T_{p + 1} = (\binom{n}{p}) a^{n - p} b^{p}

O termo de ordem p+1 na expansão de (a+b)ⁿ. Repara no índice: o termo de posição p+1 usa o expoente p.

Expansão completa

(a + b)^{n} = \sum_{p = 0}^{n} (\binom{n}{p}) a^{n - p} b^{p}

A soma de todos os termos. Os expoentes de a descem de n a 0 enquanto os de b sobem de 0 a n — e a soma deles é sempre n.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

O detalhe que mais confunde é o deslocamento entre p e a posição do termo:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$n$	expoente do binômio	natural
$p$	índice do termo, de 0 até n	natural
$T_{p + 1}$	o termo de posição p+1	—
$(\binom{n}{p})$	coeficiente binomial (uma combinação)	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vêm esses coeficientes? A resposta é linda, e é contagem pura. Expandir $(a + b)^{n}$ é multiplicar n parênteses idênticos: $(a + b) (a + b) \dots (a + b)$ . Ao distribuir tudo, cada termo do resultado nasce de escolher, em cada parêntese, um dos dois: o a ou o b.

Quer saber quantas vezes aparece o termo $a^{n - p} b^{p}$ ? É perguntar de quantas formas você pode escolher quais p parênteses vão contribuir com b (os outros contribuem com a). E isso é exatamente uma combinação: $(\binom{n}{p})$ .

Confira com $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ : o termo $a b$ aparece duas vezes, porque há duas escolhas de qual parêntese dá o b. E $(\binom{2}{1}) = 2$ ✓ — é o 2ab do produto notável, agora explicado.

Por que o coeficiente é uma combinação

coeficiente de a^{n - p} b^{p} = (\binom{n}{p}) = modos de escolher p par \hat{e} nteses para dar b

Cada termo da expansão é uma escolha em cada parêntese. Contar as escolhas equivalentes é contar combinações.

É por isso que o Triângulo de Pascal funciona: cada número dele é um $(\binom{n}{p})$ , e a linha n traz todos os coeficientes de $(a + b)^{n}$ . A regra de formação do triângulo — cada número é a soma dos dois de cima — é a relação de Stifel, $(\binom{n}{p}) = (\binom{n - 1}{p - 1}) + (\binom{n - 1}{p})$ , que também tem leitura de contagem: um elemento específico entra no grupo, ou não entra. Você pode estar pensando: “por que o termo é $T_{p + 1}$ e não $T_{p}$ ?” Porque a contagem de p começa em zero (o primeiro termo tem $b^{0}$ ), mas a posição começa em um. O quarto termo, por exemplo, usa p = 3. Esse deslocamento é o erro mais comum do assunto. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use quando a questão pedir um termo específico de uma expansão grande — o termo independente de x, o termo em $x^{5}$ , o termo do meio. Expandir tudo seria inviável; o termo geral vai direto.

O método é sempre o mesmo: escreva $T_{p + 1}$ , junte as potências de x, iguale o expoente ao que a questão pede e resolva para p.

Cuidado com o deslocamento de índice: o termo de POSIÇÃO k usa p = k − 1. E quando o binômio for $(a - b)^{n}$ , o sinal alterna: os termos com p ímpar ficam negativos, porque $(- b)^{p}$ .

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: na expansão de $(x + 2)^{5}$ há 6 termos (de p = 0 a p = 5). Os expoentes de x descem de 5 até 0, então o termo em $x^{3}$ existe e corresponde a p = 2. Vamos confirmar:

🪖 IntermediárioAchando um termo específico

Na expansão de $(x + 2)^{5}$ , qual é o coeficiente do termo em $x^{3}$ ?

Termo geral: $T_{p + 1} = (\binom{5}{p}) x^{5 - p} 2^{p}$ .
Queremos $x^{3}$ , então $5 - p = 3$ , dando $p = 2$ .
$T_{3} = (\binom{5}{2}) x^{3} 2^{2} = 10 \cdot x^{3} \cdot 4$ .

O coeficiente é

40

(o termo é

40 x^{3}

)

Verificação: bateu com a previsão de que p = 2. Confere pela estrutura: a soma dos expoentes é 3 + 2 = 5 = n ✓, e $(\binom{5}{2}) = 10$ é o terceiro número da linha 5 do Triângulo de Pascal (1, 5, 10, 10, 5, 1) ✓. E se fosse $(x - 2)^{5}$ ? O coeficiente ficaria $10 \cdot (- 2)^{2} = + 40$ — igual, porque p é par. Já o termo em $x^{2}$ (p = 3) mudaria de sinal.

Quais os erros mais comuns?

01
Confundir posição do termo com o índice p
O quarto termo usa p = 3, não p = 4. A contagem de p começa em zero.
Como evitar: anote a relação: posição = p + 1. Se a questão pede o k-ésimo termo, use p = k − 1.
02
Esquecer de elevar o coeficiente numérico
Em $(x + 2)^{5}$ , o termo carrega $2^{p}$ , não apenas 2. Ignorar isso erra o coeficiente por um fator grande.
Como evitar: escreva o binômio como (a+b) e identifique claramente quem é a e quem é b, incluindo números.
03
Errar o sinal em (a−b)ⁿ
Com b negativo, $(- b)^{p}$ alterna: positivo para p par, negativo para p ímpar. Aplicar sempre positivo erra metade dos termos.
Como evitar: trate o sinal como parte do b e deixe a potência fazer o trabalho.

FAQ: perguntas sobre o Binômio de Newton

Qual é a fórmula do termo geral do Binômio de Newton?

$T_{p + 1} = (\binom{n}{p}) a^{n - p} b^{p}$ , com p variando de 0 a n.

De onde vêm os coeficientes binomiais?

De contagem: expandir $(a + b)^{n}$ é escolher, em cada um dos n parênteses, se ele contribui com a ou com b. O número de termos $a^{n - p} b^{p}$ é o número de formas de escolher p parênteses para dar b — ou seja, $(\binom{n}{p})$ .

Qual a relação com o Triângulo de Pascal?

Cada número do triângulo é um coeficiente binomial. A linha n traz exatamente os coeficientes da expansão de $(a + b)^{n}$ .

Por que o termo é T(p+1) e não T(p)?

Porque p começa em zero — o primeiro termo tem $b^{0}$ — enquanto a posição começa em um. O k-ésimo termo usa p = k − 1.

Quantos termos tem a expansão de (a+b)ⁿ?

Exatamente n + 1, porque p vai de 0 até n.

Como achar o termo independente de x?

Escreva o termo geral, junte as potências de x e iguale o expoente total a zero. O p encontrado dá o termo.

Como fica o sinal em (a − b)ⁿ?

Os sinais alternam: positivo quando p é par, negativo quando p é ímpar, porque o termo carrega $(- b)^{p}$ .

Qual a soma de todos os coeficientes de (a+b)ⁿ?

É $2^{n}$ . Basta fazer a = b = 1 na expansão: cada coeficiente aparece multiplicado por 1, e a soma vira $(1 + 1)^{n}$ .

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Binômio de Newton: o termo geral

Qual é a fórmula do Binômio de Newton?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

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Quais os erros mais comuns?

Confundir posição do termo com o índice p

Esquecer de elevar o coeficiente numérico

Errar o sinal em (a−b)ⁿ

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