Sistemas de numeração: fórmula da base b e conversões

Q: Qual é a fórmula da representação em base b?

N = an·bⁿ + … + a1·b + a0: cada algarismo vezes a potência da base correspondente à posição.

Q: Por que o sistema posicional é um postulado?

Porque é uma convenção de representação, escolhida por sua eficiência.

Q: Como converter de outra base para decimal?

Multiplicando cada algarismo pela potência da base e somando.

Q: Por que computadores usam binário?

Porque circuitos distinguem facilmente dois estados, ligado e desligado.

Q: Por que usamos base 10?

Provavelmente por causa dos dez dedos; não há vantagem matemática especial.

Q: O que é hexadecimal e por que é usado?

É a base 16, em que cada dígito equivale a quatro dígitos binários.

Qual é a fórmula da representação em base b?

Um número N escrito com algarismos $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}$ na base b vale:

Representação posicional em base b

N = a_{n} b^{n} + a_{n - 1} b^{n - 1} + \dots + a_{1} b^{1} + a_{0} b^{0}

Cada algarismo é multiplicado pela potência da base correspondente à sua posição, contada da direita para a esquerda a partir de zero.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Postulado: é ponto de partida aceito sem demonstração — a pergunta certa é "o que se constrói a partir disso?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Os algarismos disponíveis vão de 0 até b−1 — nunca chegam a b:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$b$	a base do sistema	natural maior que 1
$a_{i}$	o algarismo da posição i	de 0 a «K: b-1 »
$i$	a posição, contada da direita a partir de 0	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem? É um Postulado — um dos dez do Guia. Não se demonstra que os números “devem” ser representados assim; escolhemos essa convenção porque ela é extraordinariamente eficiente.

E vale entender o que ela resolve. Sistemas não posicionais, como o romano, precisam de símbolos novos conforme os números crescem (I, V, X, L, C, D, M…) e tornam as operações penosas — tente multiplicar MCMXLVII por XXIII. No sistema posicional, dez símbolos representam qualquer número, por maior que seja, e os algoritmos de conta ficam mecânicos.

A leitura de 347 é literalmente a fórmula: $3 \times 1 0^{2} + 4 \times 1 0^{1} + 7 \times 1 0^{0} = 300 + 40 + 7$ .

O decimal é só o caso b = 10

347 = 3 \times 1 0^{2} + 4 \times 1 0^{1} + 7 \times 1 0^{0}

Você já usa a fórmula todos os dias sem perceber. Mudar a base é mudar só o número que aparece na potência.

Trocar a base muda tudo e não muda nada. Em binário (b = 2), só existem os algarismos 0 e 1, e cada posição vale uma potência de 2: $101 1_{2} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ . É esse sistema que os computadores usam, porque um circuito distingue com facilidade dois estados — ligado e desligado — e teria muito mais dificuldade com dez. Você pode estar pensando: “por que nós usamos base 10?” Provavelmente porque temos dez dedos. Não há nada de matematicamente especial nela — a base 12 teria vantagens (12 tem mais divisores que 10), e os babilônios usavam base 60, herança que sobrevive nos nossos minutos, segundos e graus. Para converter de decimal para outra base, o método é divisões sucessivas pela base, lendo os restos de baixo para cima. Para o caminho inverso, basta aplicar a fórmula.

Números Naturais: o Conjunto N, o Zero e as Operações

Quando usar (e quando não)?

Use para converter entre bases, entender aritmética binária e resolver questões de bases não decimais — presença frequente em provas militares e olimpíadas.

Na computação, hexadecimal (b = 16) é comum porque cada dígito hexadecimal corresponde exatamente a quatro dígitos binários, o que encurta a escrita sem perder a correspondência.

Os algarismos de uma base vão de 0 até b−1. Não existe o algarismo 2 na base 2, nem o 8 na base 8. Encontrar um algarismo maior ou igual à base é sinal de erro na representação.

Exemplo resolvido

Antes de calcular (a), prevê: 1011 em binário tem quatro casas, então o valor máximo possível é 1111₂ = 15. O resultado tem que ficar abaixo disso, e como o bit mais alto está ligado, acima de 8:

🪖 BásicoConvertendo nos dois sentidos

(a) Converta $101 1_{2}$ para decimal. (b) Converta 25 para binário.

(a) $1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1$ .
$101 1_{2} = 11$ .
(b) Divisões sucessivas por 2: 25→12 resto 1; 12→6 resto 0; 6→3 resto 0; 3→1 resto 1; 1→0 resto 1.
Lendo os restos de baixo para cima: $1100 1_{2}$ .

(a)

101 1_{2} = 11

· (b)

25 = 1100 1_{2}

Verificação: (a) bateu com a previsão, entre 8 e 15. E (b) se confere aplicando a fórmula de volta: $16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25$ ✓. E quantos bits precisamos para representar 1000? Como $2^{10} = 1024 > 1000$ , bastam 10 bits — é por isso que “1 kB” significava 1024 bytes, e não mil.

Quais os erros mais comuns?

01
Usar algarismos maiores que a base
Na base 2 só existem 0 e 1; na base 8, de 0 a 7. Escrever $19 2_{2}$ não faz sentido.
Como evitar: o maior algarismo disponível é sempre b−1. Se apareceu b ou mais, há erro.
02
Ler os restos na ordem errada
Na conversão por divisões sucessivas, os restos são lidos de baixo para cima — do último para o primeiro.
Como evitar: o último resto é o algarismo mais significativo. Ler ao contrário inverte o número.
03
Esquecer o expoente zero da última casa
A casa da direita vale $b^{0} = 1$ , não b. Começar a contagem das posições em 1 desloca todos os pesos.
Como evitar: a contagem das posições começa em zero, da direita para a esquerda.

FAQ: perguntas sobre a representação numérica em base b

Qual é a fórmula da representação em base b?

$N = a_{n} b^{n} + \dots + a_{1} b + a_{0}$ : cada algarismo multiplicado pela potência da base correspondente à sua posição.

Por que o sistema posicional é um postulado?

Porque é uma convenção de representação, não um teorema. Escolhemos essa forma por sua eficiência, e é a partir dela que a aritmética se constrói.

Quais algarismos existem em cada base?

De 0 até b−1. Na base 2, apenas 0 e 1; na base 10, de 0 a 9; na base 16, de 0 a 9 mais A até F.

Como converter de decimal para outra base?

Por divisões sucessivas pela base, lendo os restos de baixo para cima — do último obtido para o primeiro.

Como converter de outra base para decimal?

Aplicando a fórmula: multiplique cada algarismo pela potência da base correspondente e some.

Por que computadores usam binário?

Porque circuitos distinguem com facilidade dois estados, ligado e desligado. Diferenciar dez níveis de tensão seria muito mais sujeito a erro.

Por que usamos base 10?

Provavelmente por causa dos dez dedos. Não há vantagem matemática especial: a base 12 teria mais divisores, e os babilônios usaram base 60 — herança que permanece nos minutos e graus.

O que é hexadecimal e por que é usado?

É a base 16. Cada dígito hexadecimal equivale exatamente a quatro dígitos binários, o que encurta a escrita mantendo correspondência direta com o binário.

Cursos

Física

Matemática

Fórmulas

Sistemas de numeração: a base b

Qual é a fórmula da representação em base b?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Usar algarismos maiores que a base

Ler os restos na ordem errada

Esquecer o expoente zero da última casa

FAQ: perguntas sobre a representação numérica em base b

Continue no Guia de Fórmulas

Guia de Fórmulas Explicadas

Potências de mesma base

Número de divisores

MMC e MDC

Fórmulas de Matemática