Rolamento sem deslizamento: v = ω·R

Quais são as fórmulas do rolamento?

Para um corpo redondo que rola sem escorregar:

O que significa cada símbolo?

Note o d da segunda fórmula: distância ao ponto de contato, não ao eixo:

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vem $v_{cm}=\omega R$? Da definição de “não escorregar”. Se a roda dá uma volta completa sem deslizar, ela avança exatamente o comprimento da sua circunferência, $2\pi R$.

Uma volta leva um período T, então a velocidade do centro é $v=2\pi R\mathrm{/}T$. E como $\omega =2\pi \mathrm{/}T$, a substituição dá $v=\omega R$ diretamente.

Agora a parte interessante. O movimento de rolamento é a soma de dois movimentos: uma translação do centro com velocidade $v_{cm}$ e uma rotação em torno do centro com velocidade angular ω. A velocidade de qualquer ponto é a soma vetorial dos dois:

O resultado do ponto de contato parado é o mais estranho e o mais importante. Ele significa que, a cada instante, a roda está girando em torno do ponto que toca o chão — e não em torno do próprio eixo. Esse ponto se chama centro instantâneo de rotação, e usá-lo simplifica tudo: em vez de somar translação e rotação, basta aplicar $v_P=\omega d$, medindo d até o contato. Centro da roda: $d=R$, velocidade $\omega R$. Topo: $d=2R$, velocidade $2\omega R$. Contato: $d=0$, velocidade zero. Você pode estar pensando: “o ponto de contato está mesmo parado?” Está, instantaneamente. E é isso que permite o atrito ali ser estático, não cinético — motivo pelo qual rolar gasta muito menos energia que arrastar, e pelo qual a roda é a invenção que é. É também por isso que a lama que sai de um pneu é arremessada do topo, com o dobro da velocidade do carro. E por que a foto de uma roda em movimento mostra o topo borrado enquanto a parte de baixo aparece nítida — algo que você pode verificar em qualquer imagem de bicicleta em movimento. Selo Demonstrável.

Quando usar (e quando não)?

Use em rodas, bolas rolando em rampas, ioiôs, polias com corda e qualquer corpo redondo que role sem escorregar.

Se houver derrapagem, a condição $v_{cm}=\omega R$ deixa de valer: numa arrancada com pneu girando em falso, $\omega R>v_{cm}$; numa freada com roda travada, $\omega =0$ e $v_{cm}>0$.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: se a bicicleta anda a 7 m/s, o topo da roda deve andar a 14 m/s e o ponto de contato deve estar parado. É o padrão 0 · v · 2v:

Quais os erros mais comuns?

1. 01

   Medir d a partir do centro da roda

   Na fórmula $v_P=\omega d$, o d é medido até o PONTO DE CONTATO, que é o centro instantâneo de rotação.

   Como evitar: o contato é o pivô instantâneo. Meça a partir dele.
2. 02

   Achar que o topo tem a mesma velocidade do centro

   O topo tem o DOBRO, porque translação e rotação se somam ali, em vez de se cancelarem.

   Como evitar: some os dois movimentos: $v_{cm}+\omega R=2v_{cm}$.
3. 03

   Usar a condição quando há derrapagem

   Pneu girando em falso ou roda travada violam $v_{cm}=\omega R$. A relação exige rolamento puro.

   Como evitar: confira se há deslizamento. Se há, os dois movimentos são independentes.

FAQ: perguntas sobre o rolamento sem deslizamento