Permutação caótica: fórmula do desarranjo e o amigo secreto

Q: O que é uma permutação caótica?

Uma permutação em que nenhum elemento fica na posição original.

Q: Qual é a fórmula do desarranjo?

!n = n!·Σ(−1)^k/k!, com sinais alternados vindos da inclusão-exclusão.

Q: Qual a probabilidade de ninguém tirar a si mesmo no amigo secreto?

Cerca de 36,8%, praticamente 1/e.

Q: Por que aparece o número e?

Porque a soma alternada é a série que define e⁻¹.

Q: A probabilidade depende do tamanho do grupo?

Quase nada: estabiliza já a partir de 5 pessoas.

Q: Quais são os primeiros valores de !n?

0, 1, 2, 9, 44 e 265 para n de 1 a 6.

Q: Quantas vezes um sorteio de amigo secreto precisa ser refeito?

Cerca de duas em cada três tentativas falham.

Q: E se o problema pedir exatamente k elementos no lugar?

Use C(n,k) vezes o desarranjo dos n−k restantes.

Qual é a fórmula da permutação caótica?

O número de permutações de n elementos em que nenhum fica na posição original:

Permutação caótica (desarranjo)

! n = D_{n} = n! \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} = n! (\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \dots + \frac{(- 1)^{n}}{n!})

Os sinais alternam porque a fórmula vem do princípio da inclusão e exclusão. Cada termo corrige o excesso do anterior.

A probabilidade e o limite

P = \frac{! n}{n!} ⟶ \frac{1}{e} \approx 0, 3679

A probabilidade converge muito rápido: já em n = 5 ela vale 0,3667, praticamente o valor limite.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

A notação !n (com a exclamação antes) é o padrão para desarranjo:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$! n$	número de desarranjos de n elementos	natural
$n!$	total de permutações possíveis	natural
$e$	número de Euler	«K: \approx 2{,}71828 »

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: de onde vêm esses sinais alternados? Do princípio da inclusão e exclusão — e se você já viu aquela ficha, o padrão é familiar.

Queremos contar as permutações em que nenhum elemento fica no lugar. A estratégia é contar o complementar: das $n!$ permutações totais, subtraia as que têm pelo menos um elemento fixo.

Mas subtrair “as que fixam o elemento 1”, “as que fixam o 2” e assim por diante conta em dobro as que fixam dois elementos. É preciso somá-las de volta — e aí as que fixam três foram contadas demais, e precisam ser subtraídas. O padrão alterna indefinidamente, exatamente como na inclusão-exclusão.

Inclusão-exclusão · os sinais alternando

! n = n! - (\binom{n}{1}) (n - 1)! + (\binom{n}{2}) (n - 2)! - \dots = n! \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

Cada termo corrige o excesso do anterior. Simplificando os binomiais com os fatoriais, chega-se à soma alternada compacta.

Os primeiros valores

! 1 = 0! 2 = 1! 3 = 2! 4 = 9! 5 = 44! 6 = 265

Crescem rápido, mas sempre um pouco abaixo de n!/e. Podem ser conferidos por enumeração direta.

Agora a parte surpreendente. A soma $\sum (- 1)^{k} / k!$ é exatamente a série de Taylor de $e^{- 1}$ . Ou seja, a probabilidade de um desarranjo converge para $1 / e \approx 0, 3679$ — e converge muito rápido. Com 4 pessoas, $9 / 24 = 0, 375$ . Com 5, $44 / 120 = 0, 3667$ . Com 6, $265 / 720 = 0, 3681$ . A partir daí a mudança é imperceptível. Você pode estar pensando: “isso significa que o tamanho do grupo não importa?” Praticamente não. Num amigo secreto de 10 pessoas ou de 1000, a chance de o sorteio sair válido — ninguém tirando a si mesmo — é sempre em torno de 37%. Consequência prática: cerca de duas em cada três tentativas de sorteio vão precisar ser refeitas, independentemente do tamanho do grupo. É um resultado contraintuitivo: você esperaria que, com mais gente, ficasse mais fácil (ou mais difícil) evitar coincidências. Mas os dois efeitos — mais pessoas podendo se autossortear, e mais posições para cada uma ir parar — se cancelam quase perfeitamente. Selo Demonstrável.

Probabilidade e análise combinatória

Quando usar (e quando não)?

Use no problema do amigo secreto, em cartas em envelopes trocados, chapéus embaralhados e qualquer situação em que se pede que nada fique no lugar original.

Se o enunciado pedir que exatamente k elementos fiquem no lugar, combine: escolha quais k ficam com $(\binom{n}{k})$ e desarranje os $n - k$ restantes.

O desarranjo exige que NENHUM elemento fique no lugar. Se o problema pedir “pelo menos um fora do lugar” ou “exatamente k no lugar”, a conta é outra.

Exemplo resolvido

Antes de calcular, prevê: a probabilidade deve ficar em torno de 37%, praticamente 1/e. Se der muito longe disso, há erro:

🪖 IntermediárioO amigo secreto de 5 pessoas

Cinco amigos fazem um sorteio de amigo secreto. (a) De quantas formas ninguém tira o próprio nome? (b) Qual a probabilidade disso acontecer?

(a) $! 5 = 5! (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120})$ .
$= 120 \cdot (0, 5 - 0, 1667 + 0, 04167 - 0, 00833) = 120 \cdot 0, 36667$ .
$! 5 = 44$ sorteios válidos.
(b) $P = \frac{44}{120} \approx 0, 3667$ , ou 36,7%.

(a)

44

formas · (b)

\approx 36, 7 %

Verificação: bateu com a previsão de ~37%: os 0,3667 estão a menos de 0,4% de $1 / e = 0, 3679$ ✓. Uma enumeração exaustiva das 120 permutações de 5 elementos confirma as 44. E com 6 pessoas? $! 6 = 265$ e $265 / 720 = 0, 3681$ — praticamente o mesmo valor. É essa estabilidade que torna o resultado interessante.

Quais os erros mais comuns?

01
Achar que a probabilidade muda muito com n
Ela converge para 1/e já a partir de n = 4 ou 5. Grupos de 10 ou de 1000 pessoas têm praticamente a mesma chance.
Como evitar: confira: 0,375 para n=4, 0,3667 para n=5, 0,3681 para n=6. Estabiliza rápido.
02
Errar os sinais da soma alternada
Os sinais vêm da inclusão-exclusão e precisam alternar. Somar tudo positivo dá um valor completamente errado.
Como evitar: o primeiro termo é +1, o segundo −1, e assim por diante.
03
Usar desarranjo quando o enunciado pede "exatamente k no lugar"
Aí é preciso escolher quais k ficam, com $(\binom{n}{k})$ , e desarranjar apenas os restantes.
Como evitar: leia com atenção: “nenhum” pede desarranjo puro; “exatamente k” pede a combinação com desarranjo parcial.

FAQ: perguntas sobre a permutação caótica

O que é uma permutação caótica?

É uma permutação em que nenhum elemento permanece na posição original. Também é chamada de desarranjo.

Qual é a fórmula do desarranjo?

$! n = n! \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}$ . Os sinais alternam porque a fórmula vem do princípio da inclusão e exclusão.

Qual a probabilidade de ninguém tirar a si mesmo no amigo secreto?

Cerca de 36,8%, valor que converge rapidamente para $1 / e \approx 0, 3679$ e praticamente não depende do tamanho do grupo.

Por que aparece o número e?

Porque a soma alternada $\sum (- 1)^{k} / k!$ é exatamente a série que define $e^{- 1}$ . A probabilidade converge para esse valor.

A probabilidade depende do tamanho do grupo?

Quase nada. Com 4 pessoas ela vale 0,375; com 5, 0,3667; com 6, 0,3681. A partir daí é praticamente constante.

Quais são os primeiros valores de !n?

$! 1 = 0$ , $! 2 = 1$ , $! 3 = 2$ , $! 4 = 9$ , $! 5 = 44$ , $! 6 = 265$ .

Quantas vezes um sorteio de amigo secreto precisa ser refeito?

Em média, cerca de duas em cada três tentativas falham — já que só 37% dos sorteios saem válidos de primeira.

E se o problema pedir exatamente k elementos no lugar?

Escolha quais k ficam fixos, com $(\binom{n}{k})$ , e desarranje os $n - k$ restantes: $(\binom{n}{k}) \cdot! (n - k)$ .

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Permutação caótica: o desarranjo

Qual é a fórmula da permutação caótica?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Achar que a probabilidade muda muito com n

Errar os sinais da soma alternada

Usar desarranjo quando o enunciado pede "exatamente k no lugar"

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