Pelo discriminante de P(t) = Σ(aᵢt+bᵢ)², que nunca é negativo.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: fórmula, prova e aplicações

Q: Qual é a desigualdade de Cauchy-Schwarz?

(Σaᵢ²)(Σbᵢ²) ≥ (Σaᵢbᵢ)², para quaisquer reais.

Q: Quando ocorre a igualdade?

Quando as listas são proporcionais, isto é, os vetores são paralelos.

Q: Qual a interpretação geométrica?

Equivale a |cos θ| ≤ 1 entre dois vetores.

Q: Ela vale para números negativos?

Vale, pois a prova usa somas de quadrados.

Q: Como usar em problemas de máximo?

Limitando a soma de produtos pelo produto das somas de quadrados.

Q: Qual a relação com a desigualdade das médias?

Cauchy-Schwarz é mais geral e permite deduzir casos dela.

Q: Por que ela é tão usada em ITA e IME?

Porque resolve otimização com álgebra elementar, sem cálculo.

Qual é a desigualdade de Cauchy-Schwarz?

Para quaisquer números reais a₁,…,aₙ e b₁,…,bₙ:

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

(a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}

O produto das somas de quadrados é sempre maior ou igual ao quadrado da soma dos produtos. A igualdade ocorre só com listas proporcionais.

Atualizado em ago/2026. Quem te mostra isso é o Universo Narrado, com mais de 1 milhão de inscritos no YouTube. Esta fórmula leva o selo Demonstrável: foi provada a partir do que já estava estabelecido — a pergunta certa é "como chegamos aqui?" Esta é uma das equações já classificadas nos volumes publicados do Guia de Fórmulas Explicadas.

O que significa cada símbolo?

Não há restrição alguma sobre os números — negativos, zeros, o que for:

Símbolo	O que é	Unidade / observação
$a_{i}, b_{i}$	números reais quaisquer	—
$\sum a_{i}^{2}$	soma dos quadrados da primeira lista	—
$\sum a_{i} b_{i}$	soma dos produtos termo a termo	—

De onde vem a fórmula?

A pergunta é: como se prova? Por um truque bonito — construir um polinômio do segundo grau que nunca é negativo e olhar para o discriminante dele.

Considere a expressão $P (t) = \sum (a_{i} t + b_{i})^{2}$ . Ela é uma soma de quadrados, então $P (t) \geq 0$ para todo t real — isso é indiscutível.

Mas expandindo, $P (t)$ é um polinômio do segundo grau em t. E um polinômio do segundo grau que nunca fica negativo precisa ter discriminante menor ou igual a zero:

Demonstração · o discriminante não pode ser positivo

P (t) = \underset{A}{\underset{⏟}{(\sum a_{i}^{2})}} t^{2} + \underset{B}{\underset{⏟}{2 (\sum a_{i} b_{i})}} t + \underset{C}{\underset{⏟}{(\sum b_{i}^{2})}} \geq 0

Soma de quadrados nunca é negativa. Logo a parábola não corta o eixo t — ou o toca em um único ponto.

Impondo Δ ≤ 0

Δ = B^{2} - 4 A C \leq 0 \Rightarrow 4 {(\sum a_{i} b_{i})}^{2} \leq 4 (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})

Dividindo por 4, obtém-se exatamente a desigualdade. E Δ = 0 é o caso de igualdade.

O caso de igualdade é a parte mais útil. Ela ocorre quando $Δ = 0$ , ou seja, quando existe um t que anula $P (t)$ — o que exige que todos os termos $(a_{i} t + b_{i})$ sejam nulos ao mesmo tempo. Isso significa que as listas são proporcionais: $b_{i} = - t a_{i}$ para todo i. Você pode estar pensando: “há alguma interpretação mais visual?” Há, e é elegante. Em linguagem de vetores, a desigualdade diz $∣ \vec{u} ∣^{2} ∣ \vec{v} ∣^{2} \geq (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}$ , ou seja, $∣ \cos θ ∣ \leq 1$ . O produto escalar nunca supera o produto dos módulos — e a igualdade acontece quando os vetores são paralelos, que é exatamente a condição de proporcionalidade. Em prova, ela aparece assim: “dado que $a^{2} + b^{2} = 1$ , qual o maior valor de $3 a + 4 b$ ?” Aplicando Cauchy-Schwarz com as listas $(a, b)$ e $(3, 4)$ , o máximo é $\sqrt{9 + 16} \cdot \sqrt{1} = 5$ — atingido quando $(a, b)$ é proporcional a $(3, 4)$ . Nenhuma derivada envolvida. Selo Demonstrável.

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Quando usar (e quando não)?

Use em problemas de máximo e mínimo com restrição quadrática, e em demonstrações de outras desigualdades — inclusive a desigualdade das médias sai dela.

A marca registrada em prova é o enunciado dar uma soma de quadrados fixa e pedir o maior valor de uma combinação linear.

A desigualdade vale para QUAISQUER reais, inclusive negativos — ao contrário da desigualdade das médias, que exige valores positivos.

Exemplo resolvido

Antes de calcular (b), prevê pelo caso de igualdade: o máximo é atingido quando (a,b) é proporcional a (3,4). Como (3,4) tem módulo 5, o máximo deve ser exatamente 5:

🪖 AvançadoVerificando e usando a desigualdade

(a) Verifique a desigualdade para (1,2,3) e (4,5,6). (b) Se $a^{2} + b^{2} = 1$ , qual o maior valor possível de $3 a + 4 b$ ?

(a) Esquerdo: $(1 + 4 + 9) (16 + 25 + 36) = 14 \cdot 77 = 1078$ .
Direito: $(4 + 10 + 18)^{2} = 3 2^{2} = 1024$ . E $1078 \geq 1024$ ✓
(b) $(3 a + 4 b)^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (a^{2} + b^{2}) = 25 \cdot 1 = 25$ .
$∣ 3 a + 4 b ∣ \leq 5$ , com igualdade quando $(a, b) ∥ (3, 4)$ , ou seja, $(3 / 5, 4 / 5)$ .

(a)

1078 \geq 1024

✓ · (b) máximo 5, em

(a, b) = (3 / 5, 4 / 5)

Verificação: (b) bateu com a previsão. Confere substituindo: $3 (3 / 5) + 4 (4 / 5) = 9 / 5 + 16 / 5 = 5$ ✓. E o caso de igualdade em (a)? Se trocássemos (4,5,6) por (2,4,6) — que é proporcional a (1,2,3) —, teríamos $14 \cdot 56 = 784$ de um lado e $2 8^{2} = 784$ do outro: igualdade exata, como o teorema prevê.

Quais os erros mais comuns?

01
Achar que vale só para números positivos
Ela vale para quaisquer reais, incluindo negativos. É a desigualdade das médias que exige positividade.
Como evitar: a prova usa soma de quadrados, que não se importa com sinal.
02
Esquecer de verificar o caso de igualdade
O máximo só é atingido quando as listas são proporcionais. Sem esse passo, você prova o limite mas não mostra que ele é alcançado.
Como evitar: depois de obter o limite, exiba os valores que produzem a igualdade.
03
Inverter o sentido da desigualdade
O produto das somas de quadrados é o lado MAIOR. Inverter leva a conclusões falsas.
Como evitar: teste com (1,0) e (0,1): esquerdo 1, direito 0. O produto das somas é o maior.

FAQ: perguntas sobre a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Qual é a desigualdade de Cauchy-Schwarz?

$(\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2}) \geq (\sum a_{i} b_{i})^{2}$ , válida para quaisquer números reais.

Como se demonstra?

Construindo $P (t) = \sum (a_{i} t + b_{i})^{2}$ , que nunca é negativo por ser soma de quadrados. Um polinômio do segundo grau sempre não negativo tem discriminante menor ou igual a zero, e essa condição é exatamente a desigualdade.

Quando ocorre a igualdade?

Quando as duas listas são proporcionais, ou seja, $b_{i} = k a_{i}$ para todo i. Em linguagem vetorial, quando os vetores são paralelos.

Qual a interpretação geométrica?

Ela equivale a $∣ \cos θ ∣ \leq 1$ : o produto escalar de dois vetores nunca supera o produto de seus módulos.

Ela vale para números negativos?

Vale. A demonstração usa somas de quadrados, que independem do sinal — diferentemente da desigualdade das médias, que exige positividade.

Como usar em problemas de máximo?

Aplicando-a a uma soma de produtos que se quer maximizar, com uma das somas de quadrados fixada pela restrição do problema. O máximo é a raiz do produto das somas.

Qual a relação com a desigualdade das médias?

Cauchy-Schwarz é mais geral e permite deduzir casos da desigualdade das médias, além de resolver problemas que ela não alcança.

Por que ela é tão usada em ITA e IME?

Porque resolve otimização com restrição quadrática usando apenas álgebra, sem cálculo diferencial — exatamente o tipo de raciocínio que essas bancas cobram.

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Cauchy-Schwarz: (Σa²)(Σb²) ≥ (Σab)²

Qual é a desigualdade de Cauchy-Schwarz?

O que significa cada símbolo?

De onde vem a fórmula?

Quando usar (e quando não)?

Exemplo resolvido

Quais os erros mais comuns?

Achar que vale só para números positivos

Esquecer de verificar o caso de igualdade

Inverter o sentido da desigualdade

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